第12页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

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$解：由题意，得AB=5m，BC=12m，$

$∠B=90°，$

$所以AC= \sqrt{AB²+BC²} =13m.$

$甲同学的方案：设正方形BDEF的边长为xm，$

$则BD=ED=xm.$

$因为DE//AB，$

$所以△CDE∽△CBA，$

$所以 \frac {DC}{BC} = \frac {ED}{AB} .$

$因为DC=BC-BD=(12-x)m，$

$所以 \frac {12-x}{12} = \frac {x}{5} ，$

$解得x= \frac {60}{17} ，$

$即甲同学的方案中正方形的边长为 \frac {60}{17}\ \mathrm {m}.$

$乙同学的方案：设正方形KMNG的边长为ym，$

$则KM=MN=ym.$

$在题图②中，过点B作BH⊥AC于点H，交KM于点P，$

$则S_{△ABC}= \frac {1}{2}×AB×BC= \frac {1}{2}×AC×BH，$

$所以BH= \frac {AB×BC}{AC} = \frac {60}{13}\ \mathrm {m}.$

$因为KM//AC，$

$所以△BKM∽△BAC，BP⊥KM，$

$所以BP，BH分别是△BKM和△BAC的对应高，$

$所以 \frac {BP}{BH} = \frac {KM}{AC} 。$

$因为PH=MN=ym，$

$所以BP=BH-PH=( \frac {60}{13} -y)m，$

$所以 \frac {\frac {60}{13}-y}{\frac {60}{13}}=\frac {y}{13}$

$解得y= \frac {780}{229} ，$

$即乙同学的方案中正方形的边长为 \frac {780}{229}\ \mathrm {m}.$

$因为 \frac {60}{17} \gt \frac {780}{229} ，$

$所以按题图①设计出的正方形的面积大.$

$综上所述，甲同学的设计方案符合要求.$

$解：(1)①因为 A D / / B C，$

$所以 \angle D A C=\angle O C B.$

$因为 A D=C D，$

$所以 \angle D A C=\angle D C A，$

$所以 \angle D C A=\angle O C B.$

$因为 \angle A B C=90^{\circ}， O 是 A C 的中点，$

$所以 O B=O C=\frac {1}{2}\ \mathrm {A}\ \mathrm {C}，$

$所以 \angle O B C=\angle O C B，$

$所以 \angle D A C=\angle O B C，$

$所以 \triangle D A C ∽\triangle O B C$

$②过点 D 作 D F \perp B C 于点 F，\ $

$则 \angle B F D=\angle C F D=90^{\circ}.$

$设 A D=C D=2\ \mathrm {m}.$

$因为 A D / / B C， \angle A B C=90^{\circ}，$

$所以 \angle B A D=180^{\circ}-\angle A B C=90^{\circ}，$

$所以四边形ABFD是矩形$

$所以BF=AD=2m$

$因为 B E \perp C D，$

$所以 \angle B E C=90^{\circ}$

$所以 \angle O B C+\angle O C B+\angle D C A=90^{\circ}.$

$因为 \angle O B C=\angle O C B=\angle D C A，$

$所以 \angle O B C=\angle O C B=\angle D C A=\frac {1}{3} \times 90^{\circ}=30^{\circ}，$

$所以 \angle D C F=\angle O C B+\angle D C A=60^{\circ}，$

$所以 \angle C D F=90^{\circ}-\angle D C F=30^{\circ}，$

$所以 C F=\frac {1}{2}\ \mathrm {C}\ \mathrm {D}=m，$

$所以 B C=B F+C F=3\ \mathrm {m}，$

$所以 \frac {A D}{B C}=\frac {2}{3}.$

$解:(2) 设 A D=C D=x. 分类讨论如下：$

$①如图①，当点 E 在边 A D 上时，连接 C E.$

$因为 A D / / B C，$

$所以 \angle O A E=\angle O C B， \angle O E A=\angle O B C.$

$因为 O 是 A C 的中点，$

$所以 O A=O C，$

$所以 \triangle O A E ≌\triangle O C B，$

$所以 O E=O B，$

$所以四边形 A B C E 是平行四边形.$

$因为 \angle A B C=90^{\circ}，$

$所以四边形 A B C E 是矩形，$

$所以 \angle A E C=90^{\circ}， A C=B E.$

$因为 O E=3 ，$

$所以 A C=B E=2\ \mathrm {O}\ \mathrm {E}=6.$

$因为 D E=2，$

$所以 A E=A D-D E=x-2.$

$因为 \angle D E C=180^{\circ}-\angle A E C=90^{\circ}，$

$所以 D E^2+C E^2=C D^2.$

$又 A E^2+C E^2=A C^2，$

$所以 C D^2-D E^2=A C^2-A E^2，$

$所以 x^2-2^2=6^2-(x-2)^2，\ $

$解得 x_1=1+\sqrt{19}，\ $

$x_2=1-\sqrt{19} (不合题意，舍去)，$

$则 C D 的长为 1+\sqrt{19}.$

$②如图②，当点 E 在边 C D 上时， C E=C D=D E=x-2.$

$因为 \triangle D A C \backsim \triangle O B C，$

$所以 \frac {C D}{O C}=\frac {A C}{B C}，$

$所以 \frac {C D}{A C}=\frac {O C}{B C}.$

$因为 \angle O C E=\angle C B E， \angle O E C=\angle C E B，$

$所以 \triangle O C E \backsim \triangle C B E，$

$所以 \frac {C E}{B E}=\frac {O E}{C E}=\frac {O C}{B C}，$

$所以 \frac {C E}{B E}=\frac {O E}{C E}=\frac {C D}{A C}.$

$设 O B=O C=y，\ $

$则 B E=O B+O E=y+3，\ $

$A C=2\ \mathrm {O}\ \mathrm {C}=2 y，$

$所以 \frac {x-2}{y+3}=\frac {3}{x-2}=\frac {x}{2 y}，\ $

$解得 x_1=3+\sqrt{19}，\ $

$x_2=3-\sqrt{19} (不合题意，舍去)，$

$则 C D 的长为 3+\sqrt{19}.$

$综上所述， C D 的长为 1+\sqrt{19} 或 3+\sqrt{19}.$