第18页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

$解：(1) 当 m=0 时，抛物线即为 y=x^2-x+3.$

$在 y=x^2-x+3 中，令 x=2，得 y=2^2-2+3=5，$

$所以点 (2，4) 不在该抛物线上.$

$(2) 因为 y=x^2-(m+1) x+2\ \mathrm {m}+3=(x-.\frac {m+1}{2})^2-\frac {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}-6\ \mathrm {m}-11}{4}，$

$所以该抛物线的顶点坐标为 (\frac {m+1}{2}，-\frac {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}-6\ \mathrm {m}-11}{4}).$

$因为 -\frac {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}-6\ \mathrm {m}-11}{4}=-\frac 14(m-3)^2+5$

$所以当 x=3时， -\frac {\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}-6m-11}4取最大值5.$

$此时 \frac {m+1}{2}=2.$

$故当该抛物线的顶点移动到最高处时，该抛物线的顶点坐标为 (2，5).$

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$解:(3)设直线 E F 的函数表达式为 y=k x+b.$

$把点 E(-1，-1)， F(3，7) 分别代入 y=k x+b，得$

$\{\begin{array}{l}-k+b=-1， \\ 3\ \mathrm {k}+b=7，\end{array}.$

$解得 \{\begin{array}{l}k=2， \ b=1，\end{array}.$

$所以直线 E F 的函数表达式为 y=2 x+1.$

$联立方程组 \{\begin{array}{l}y=x^2-(m+1) x+2\ \mathrm {m}+3， \\ y=2 x+1，\end{array}.$

$解得 \{\begin{array}{l}x=2， \\ y=5\end{array}. 或 \{\begin{array}{l}x=m+1， \\ y=2\ \mathrm {m}+3，\end{array}.$

$所以该抛物线与直线 E F 的两个交点的坐标$

$分别为 (2，5)，(m+1，2\ \mathrm {m}+3).$

$因为点 (2，5) 在线段 E F 上，$

$所以当该抛物线与线段 E F 只有一个交点时，\ $

$m+1\lt -1 或 m+1\gt 3 或 m+1=2，$

$所以该抛物线顶点横坐标 a 的取值范围为\ $

$a\lt -\frac {1}{2} 或 a\gt \frac {3}{2} 或 a=1.$

$解：(1) 如图①,过点 B 作 B E \perp C D 于点 E，\ $

$过点 A 作A F \perp B E 于点 F，\ $

$则 C E / / A F，$

$所以 \triangle B E C∽\triangle B F A，$

$所以 \frac {B E}{B F}=\frac {B C}{B A}.$

$因为 B C=2\ \mathrm {A}\ \mathrm {C}， A(3 \sqrt{5}， m)，$

$所以 \frac {B C}{B A}=\frac {2}{3}， B F=3 \sqrt{5}，$

$所以 \frac {B E}{3 \sqrt{5}}=\frac {2}{3}，$

$所以 B E=2 \sqrt{5}.$

$因为直线 y=k x-1 经过点 A， C，$

$所以 A(3 \sqrt{5}， 3 \sqrt{5}\ \mathrm {k}-1)， C(2 \sqrt{5}， 2 \sqrt{5}\ \mathrm {k}-1)，$

$所以 A C=\sqrt{(3 \sqrt{5}-2 \sqrt{5})^2+(3 \sqrt{5}\ \mathrm {k}-1-2 \sqrt{5}\ \mathrm {k}+1)^2}$

$=\sqrt{5(k^2+1)}，\ $

$C D=2 \sqrt{5}\ \mathrm {k}-1.$

$因为 A C=C D，$

$所以 \sqrt{5(k^2+1)}=2 \sqrt{5}\ \mathrm {k}-1，\ $

$解得 k=\frac {2 \sqrt{5}}{5}，$

$所以该一次函数的表达式为 y=\frac {2 \sqrt{5}}{5} x-1.$

$解:(2) 如图②，过点 A 作 A M \perp P D 于点 M，\ $

$则 \angle A M P=\angle P D Q=90^{\circ}，$

$所以 \angle P A M+\angle A P M=90^{\circ}.$

$因为 A P \perp Q P，$

$所以 \angle Q P D+\angle A P M=90^{\circ}，$

$所以 \angle P A M=\angle Q P D，$

$所以 \triangle P A M \backsim \triangle Q P D，$

$所以 \frac {P M}{Q D}=\frac {A M}{P D}.$

$设 P D=x.\ $

$由 (1) 可知 A(3 \sqrt{5}， 5)， D(2 \sqrt{5}， 0)，$

$所以 A M=3 \sqrt{5}-2 \sqrt{5}=\sqrt{5}，\ $

$P M=P D-D M=x-5.$

$因为 Q(-\frac {4 \sqrt{5}}{5}， 0)，$

$所以 Q D=2 \sqrt{5}-(-\frac {4 \sqrt{5}}{5})=\frac {14 \sqrt{5}}{5}，$

$所以 \frac {x-5}{\frac {14 \sqrt{5}}{5}}=\frac {\sqrt{5}}{x}，\ $

$解得 x=7 或 -2.$

$经检验，它们都是原分式方程的解.$

$又 x\gt 5，\ $

$所以 P D=7，$

$所以 P(2 \sqrt{5}， 7)，$

$所以可设该抛物线的函数表达式为 y=a(x-2 \sqrt{5})^2+7.$

$把点 A(3 \sqrt{5}， 5) 代入 y=a(x-2 \sqrt{5})^2+7，\ $

$得 5=5\ \mathrm {a}+7，$

$解得 a=-\frac {2}{5}.$

$故该抛物线的函数表达式为 y=-\frac {2}{5}(x-2 \sqrt{5})^2+7$