第36页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

$解：(1) 当 k=-2 时，函数即为 y=-2 x^2+4 x-2.$

$因为 4^2-4 \times(-2) \times(-2)=0，$

$所以方程 -2 x^2+4x-2=0 有两个相等的实数根，$

$所以该函数的图像与 x 轴的交点个数为 1 .$

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$解:(2) 在 y=k x^2+k^2 x-2 中，\ $

$令 x=0，得 y=-2，$

$所以 C(0，-2)，$

$所以 O C=2.$

$因为 \angle A O C=90^{\circ}，$

$所以当 \triangle A O C 是等腰三角形时，$

$O A=O C=2，$

$所以点 A 的坐标为 (2，0) 或 (-2，0).$

$把 x=2， y=0 代入 y=k x^2+k^2 x-2，\ $

$得 2\ \mathrm {k}^2+4\ \mathrm {k}-2=0，$

$解得 k_1=-1+\sqrt{2}， k_2=-1-\sqrt{2}；$

$把 x=-2， y=0代入 y=k x^2+k^2 x-2，\ $

$得 -2\ \mathrm {k}^2+4\ \mathrm {k}-2=0，$

$解得 k_1=k_2=1.$

$综上所述， k 的值为 -1+\sqrt{2} 或 -1-\sqrt{2} 或 1.$

$解:(3) 由题意，得 \{\begin{array}{l}k\lt 0， \\ -\frac {k^2}{2\ \mathrm {k}} \leqslant 1，\end{array}.$

$即 \{\begin{array}{l}k\lt 0， \\ -\frac {k}{2} \leqslant 1，\end{array}.$

$解得 -2 \leqslant k\lt 0.$

$故 k 的取值范围为 -2 \leqslant k\lt 0.$

$解：(1) 如图，在 F C 上截取 F M=F E，\ $

$连接 O B， O M.$

$因为 C_{△E B F}=B C，$

$所以 B F+F E+B E=B F+F M+C M，$

$所以 B E=C M.$

$因为 O 为正方形 A B C D 的中心，$

$所以 O B=O C， \angle B O C=90^{\circ}，\angle O B E=\angle O C M=45^{\circ}.$

$在 \triangle O B E 和 \triangle O C M 中，$

$\{\begin{array}{l}O B=O C， \\ \angle O B E=\angle O C M， \\ B E=C M，\end{array}.$

$所以 △OBE≌△OCM$

$所以 O E=O M， \angle E O B=\angle M O C，$

$所以 \angle E O B+\angle B O M=\angle M O C+\angle B O M，$

$所以 \angle E O M=\angle B O C=90^{\circ}.$

$在 \triangle O F E 与 \triangle O F M 中，$

$\{\begin{array}{l}O E=O M， \\ O F=O F， \\ F E=F M，\end{array}.$

$所以 \triangle O F E ≌ \triangle O F M，$

$所以 \angle E O F=\angle M O F，$

$所以 \angle E O F=\frac {1}{2} \angle E O M=45^{\circ}.$

$证明:(2) 因为 \angle E O F=45^{\circ}，$

$所以 \angle A O E+\angle C O F=180^{\circ}-\angle E O F=135^{\circ}.$

$因为 \angle E A O=\angle O C F=45^{\circ}，$

$所以 \angle A O E+\angle A E O=180^{\circ}-∠EAO=135^{\circ}，$

$所以 \angle A E O=\angle C O F，$

$所以 △AOE∽△CFO$

$解:(3) 因为 \triangle A O E ∽ \triangle C F O ，$

$所以 \frac {AE}{O C}=\frac {O A}{C F}=\frac {O E}{O F}.$

$因为 O E=\frac {\sqrt{5}}{2}\ \mathrm {O}\ \mathrm {F}，$

$所以 A E=\frac {\sqrt{5}}{2}\ \mathrm {O}\ \mathrm {C}， O A=\frac {\sqrt{5}}{2}\ \mathrm {C}\ \mathrm {F}.$

$因为 O A=O C，$

$所以 A E=\frac {\sqrt{5}}{2} \times \frac {\sqrt{5}}{2}\ \mathrm {C}\ \mathrm {F}=\frac {5}{4}\ \mathrm {C}\ \mathrm {F}，$

$所以 \frac {A E}{C F}=\frac {5}{4}.$

$解：(1) 在 y=-\frac {1}{2} x+3 中，\ $

$令 x=0，得 y=3，$

$所以 C(0，3)；$

$令 y=0，得 -\frac {1}{2} x+3=9，解得 x=6.$

$所以 B(6，0).$

$把点 B(6，0)， C(0，3) 分别代入 y=ax^2-2x+c得$

$\begin{cases}36a-2+c=0\\c=3\end{cases}$

$解得 \begin{cases}a=\dfrac 14\\c=3\end{cases}$

$所以该拋物线的函数表达式为 y=\frac {1}{4} x^2-2 x+3.$

$因为 y=\frac {1}{4} x^2-2 x+3=\frac {1}{4}(x-4)^2-1，$

$所以点 D 的坐标为 (4，-1).$

$解:(2)设直线 C D 的函数表达式为 y=k x+b.$

$把点 D(4，-1)， C(0，3) 分别代入 y=k x+b，得$

$\{\begin{array}{l}4\ \mathrm {k}+b=-1， \\ b=3，\end{array}.$

$解得 \{\begin{array}{l}k=-1， \\ b=3，\end{array}.$

$所以 y=-x+3.$

$在 y=-x+3 中，令 y=0，得 x=3，$

$所以 E(3，0)，$

$所以 O E=3.$

$因为 B(6，0)， C(0，3)，$

$所以 O B=6， O C=3，$

$所以 O C=O E， B E=O B-O E=3.$

$因为 \angle C O E=90^{\circ}，$

$所以 C E=\sqrt{O C^2+O E^2}=3 \sqrt{2}，\ $

$\angle O E C=45^{\circ}.$

$过点 B 作 B F \perp C D，交 C D 的延长线于点 F，\ $

$则 \angle F=90^{\circ}， \angle B E F=\angle O E C=45^{\circ}，$

$所以 B F=B E \cdot \sin \angle B E F=\frac {3 \sqrt{2}}{2}，\ $

$E F=B E·\cos \angle B E F=\frac {3 \sqrt{2}}{2}，$

$所以 C F=C E+E F=\frac {9 \sqrt{2}}{2}，$

$所以 \tan \angle B C D=\frac {B F}{C F}=\frac {1}{3}.$

$解:(3)设点 P 的坐标为 (m，-\frac {1}{2}\ \mathrm {m}+3).$

$因为 \angle P E B=\angle B C D，$

$所以 \tan \angle P E B=\tan \angle B C D=\frac {1}{3}.$

$分类讨论如下：$

$①当点 P 在 x 轴上方时， \frac {-\frac {1}{2}\ \mathrm {m}+3}{m-3}=\frac {1}{3}，$

$解得 m=\frac {24}{5}，则 -\frac {1}{2}\ \mathrm {m}+3=\frac {3}{5}，$

$所以 P(\frac {24}{5}， \frac {3}{5})；$

$②当点 P 在 x 轴下方时， \frac {\frac {1}{2}\ \mathrm {m}-3}{m-3}=\frac {1}{3}$

$解得 m=12，则 -\frac {1}{2}\ \mathrm {m}+3=-3，$

$所以 P(12，-3).$

$综上所述,点 P 的坐标为 (\frac {24}{5},\frac {3}{5}) 或 (12,-3).$