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C

A

$-\frac{20}{3} $

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$解：(1) 因为四边形ABCD为矩形，$

$所以∠ABC=90°。$

$因为AB=6，BC=8，$

$所以AC= \sqrt{AB²+BC²} =10.$

$因为P是AC的中点，$

$所以CP= \frac {1}{2}\ \mathrm {AC}=5.$

$因为⊙O与AC相切，$

$所以OP⊥AC，$

$所以∠OPC=90°。$

$因为 tan ∠OCP= \frac {OP}{CP} = \frac {AB}{BC} ，$

$所以 \frac {OP}{5} = \frac {6}{8} ，$

$所以OP= \frac {15}{4} .$

$故⊙O的半径为 \frac {15}{4}$

$解:(2) 当OP⊥BC时，⊙O的半径最小，$

$此时∠COP =90°，$

$所以 sin∠OCP= \frac {OP}{CP} = \frac {AB}{AC} 。$

$因为CP=5，AB=6，AC=10，$

$所以 \frac {OP}{5} = \frac {6}{10} ，$

$所以OP=3.$

$故当OP⊥BC时，⊙O的半径最小，且最小$

$值为3.$

$解:(3) 因为∠ABC=90°，AC=10，$

$BC=8，CP=5，$

$所以若△POC为等腰三角形，$

$则分类讨论如下：$

$①当OC=CP 时，OC=5；$

$②当OP=CP=5时，$

$过点P作PE⊥BC于点E，$

$则OE=CE=\frac {1}{2}\ \mathrm {OC}，∠OEP=90°.$

$由(2)，得 EP=3，$

$所以OE= \sqrt{OP²-EP} =4，$

$所以OC=2OE=8；$

$③当OC=OP时，$

$过点O作OF⊥CP于点F，$

$则CF=PF= \frac {1}{2}\ \mathrm {CP}= \frac {5}{2} ，$

$∠OFC=90°.$

$因为cos ∠OCF= \frac {CF}{OC} = \frac {BC}{AC} ，$

$所以 \frac {\frac {5}{2}}{OC} = \frac {8}{10} ，$

$所以OC=\frac {25}{8} .$

$综上所述，OC的长为5或8或 \frac {25}{8} .$

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