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A

$\frac{11}{5} $

$\sqrt{13} $

$解：(1) 在y=(2-t)x+4中，令x=0，得y=4，$

$所以A(0，4)，$

$所以OA=4.$

$在y=-(t+1)x-2中，$

$令x=0，得y=-2，$

$所以B(0，-2)，$

$所以OB=2，$

$所以AB=OA+OB=6.$

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$解:(2) 联立方程组$

$\begin{cases}y=(2-t)x+4\\y=-(t+1)x-2\end{cases}$

$解得x=-2，y=2t$

$所以P(-2，2t).$

$过点P作PC⊥y轴于点C，$

$则PC=2.$

$因为AB=6，$

$所以S_{△ABP}=\frac {1}{2}×AB×PC=6.$

$故△ABP的面积是定值，且为6.$

$解:(3) 因为P(-2，2t)，$

$所以点P 在直线x=-2上运动.$

$因为AB=6，$

$所以C_{△ABP}=AP+BP+AB$

$=AP+BP+6，$

$所以当AP+BP取最小值时，$

$△ABP的周长最小.$

$作点A关于直线x=-2的对称点A'连接A'B，$

$则当P为线段A'B与直线x=-2的交点时，$

$AP+BP取最小值，$

$且最小值即为A'B的长.$

$因为A(0，4)，$

$所以A'(-4，4).$

$设直线A'B 的函数表达式为y=kx+b.$

$把点A'(-4，4)，B(0，-2)分别代入y=kx+b，得$

$\begin{cases}-4k+b=4， \\b=-2\end{cases}$

$解得k=-\frac {3}{2}，b=-2$

$所以直线A'B的函数表达式为y=- \frac {3}{2} x-2.$

$在y=-\frac {3}{2} -2中，令x=-2，$

$得y=- \frac {3}{2}×(-2)-2=1，$

$所以P(-2，1)，$

$所以2t=1，$

$解得t= \frac {1}{2} .$

$因为A'B=\sqrt{(0+4)²+(-2-4)²} =2 \sqrt{13} ，$

$所以当t=\frac {1}{2} 时，△ABP的周长最小，$

$且最小值为2\sqrt{13} +6.$

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