第22页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

$解：(1) 过点A作AD⊥x轴于点D，$

$则∠ADO=90°。$

$因为A(-1，2)，$

$所以OD=1，AD=2.$

$由旋转的性质，得BO=OA，∠AOB=90°，$

$所以∠AOD+∠BOC=90°.$

$因为BC⊥x轴，$

$所以∠OCB=90°，$

$所以∠OCB=∠ADO，∠OBC+∠BOC=90°，$

$所以∠OBC=∠AOD.$

$在△OBC 和△AOD 中，$

$\begin{cases}∠OCB=∠ADO， \\∠OBC=∠AOD， \\BO=OA，\end{cases}$

$所以△OBC≌△AOD，$

$所以BC=OD=1，OC=AD=2，$

$所以B(2，1).$

$把点B(2，1)代入y= \frac {k}{x} ，$

$得1= \frac {k}{2} ，$

$解得k=2，$

$所以反比例函数的表达式为y=\frac {2}{x}.$（更多请点击查看作业精灵详解）

$解:(2) 把点 P(m，n)代入y= \frac {2}{x} ，$

$得n= \frac {2}{m}$

$所以P(m， \frac {2}{m} )。$

$过点P作PE⊥x轴于点E.PF⊥BC于点F，$

$则PE= \frac {2}{m} .$

$因为OC=2，$

$所以S_{△POC}=\frac {1}{2}×OC×PE= \frac {2}{m} ，$

$PF=|m-2|.$

$因为BC=1，$

$所以S_{△PBC}= \frac {1}{2}×BC×PF= \frac {1}{2} |m-2|.$

$因为S_{△POC}=4S_{△PBC}，$

$所以 \frac {2}{m} =4× \frac {1}{2} |m-2|，$

$所以 \frac {1}{m} =|m-2|.$

$当m\gt 2时， \frac {1}{m} =m-2，$

$即m²-2m-1=0，$

$解得m=\sqrt{2} +1$

$(m=1-\sqrt{2} 不合题意，舍去)，$

$则 \frac {2}{m} =2 \sqrt{2} -2，$

$所以P( \sqrt{2} +1，2 \sqrt{2} -2)；$

$当m\lt 2时，\frac {1}{m} =2-m，$

$即m²-2m+1=0，$

$解得m=1，$

$则\frac {2}{m} =2，$

$所以P(1，2).$

$综上所述，点P 的坐标为( \sqrt{2} +1，2 \sqrt{2} -2)或(1，2).$

$解:(3)①因为m=2，$

$所以n= \frac {2}{m} =1，$

$所以P(2，1)，G(-2，-1)，Q(1，3).$

$设直线AG 的函数表达式为y=k_{1}x+b_{1}.$

$因为A(-1，2)，$

$所以\begin{cases} -k_1+b_1=2，\\ -2k_1+b_1=-1，\end{cases}$

$解得k_1=3，b_1=5$

$所以直线AG的函数表达式为y=3x+5.$

$设直线PQ的函数表达式为y=k_2x+b_2，$

$则\begin{cases}2k_2+b_2=1， \\k_2+b_2=3， \end{cases}$

$解得k_2=-2，b_2=5$

$所以直线PQ的函数表达式为y=-2x+5.$

$联立方程组$

$\begin{cases}y=3x+5\\y=-2x+5\end{cases}$

$解得x=0，y=5$

$所以点H的坐标为(0，5).$

$②因为A(-1，2)，G(-m，-n)，$

$所以由待定系数法可得直线AG的函数表达式$

$为y= \frac {n+2}{m-1} x+ \frac {2m+n}{m-1} .$

$因为P(m，n)，Q(m-1，n+2)，$

$所以由待定系数法可得直线PQ的函数表达式$

$为y=-2x+2m+n$

$联立方程组$

$\begin{cases}y=\dfrac {n+2}{m-1}x+\dfrac {2m+n}{m-1}\\y=-2x+2m+n \end{cases}$

$解得x=m-2，y=n+4$

$所以H(m-2，n+4)，$

$所以a=m-2，b=n+4，$

$所以a+2=m，b-4=n，$

$所以(a+2)(b-4)=mn.$

$因为点P(m，n)在双曲线y= \frac {2}{x}上，$

$所以n= \frac {2}{m} ，$

$所以mn=2，$

$所以(a+2)(b-4)=2，$

$即(a+2)(b-4)为定值2.$