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第34页

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$3＜k＜4$

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$解:(1)由题意，得y=-x²+x-1的“N函数”$

$的表达式为y=x²+x+1.$

$解:(2) 由题意，得 $

$两个“N函数”的图像关于原点中心对称，$

$又正比例函数y=kx的图像也关于原点中心$

$对称，$

$所以当(1)中两个“N函数”的图像与正比例函数$

$y=kx的图像只有两个交点时，$

$二次函数y=x²+x+1的图像与正比例函数$

$y=kx的图像有且只有一个交点$

$令x²+x+1=kx，$

$整理，得x²+(1-k)x+1=0.$

$由题意，得(1-k)²-4=0，$

$解得k=-1或3.$

$解:(3) 因为A，B分别是“N函数”y_1与y_2图像$

$的顶点，点A的坐标为(-2，1)， $

$所以点B 的坐标为(2，-1)，$

$所以AB²=[2-(-2)]²+(-1-1)²=20.$

$因为C是“N函数”y_{2}与y轴正半轴的交点，$

$所以可设C(0，t)(t\gt 0)，$

$则AC²=[0-(-2)]²+(t-1)²=t²-2t+5，$

$BC²=(0-2)²+[(t-(-1)]²=t²+2t+5.$

$因为△ABC为直角三角形，$

$所以分类讨论如下：$

$①若∠ACB=90°，$

$则AC²+BC²=AB²，$

$即t²-2t+5+t²+2t+5=20，$

$解得t= \sqrt{5} (t=- \sqrt{5} 不合题意，舍去)，$

$所以C(0， \sqrt{5} ).$

$②若∠BAC=90°，$

$则 AC²+AB²=BC²，$

$即t²-2t+5+20=t²+2t+5，$

$解得t=5，$

$所以C(0，5).$

$③若∠ABC=90°，$

$则AB²+BC²=AC²，$

$即20+t²+2t+5=t²-2t+5，$

$解得t=-5(不合题意，舍去).$

$综上所述，点C的坐标为(0，\sqrt{5} )或(0，5).$

$解：(1)如图1，设∠DAC=β，$

$设∠C=α=∠BAD，$

$则∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+α，$

$则∠BAC=α+β，$

$∵△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”$

$∴∠BAC-∠B=α+β-∠B=2∠C=2α，$

$∴α+∠B=β=∠ADC=∠DAC，$

$∴△ADC为等腰三角形，$

$∴∠DAC=β=∠ADC，$

$故设AC=CD=x，则BD=9-x，$

$∵∠C=∠BAD，∠B=∠B，$

$∴△BAD∽△BCA，$

$∴\frac {AB}{BC}=\frac {BD}{AB}，$

$即\frac {3}{9}=\frac {9-x}{3}，$

$解得x=8，$

$即AC=8.$

$证明:(2)∵D是底边BC的一个黄金分割点，$

$∴\frac {BD}{CB}=\frac {CD}{BD}，$

$∵AB=BD=AC，$

$∴\frac {AB}{CD}=\frac {CB}{AC}，$

$∵∠B=∠C，$

$∴△DCA∽△ABC，$

$∵△ABC为等腰三角形，$

$故△ACD为等腰三角形，$

$故∠DAC=∠C，$

$设∠B=∠C=α=∠DAC，$

$∠BAD=∠BDA=β，$

$则β=2α，$

$则∠BAC-∠C=β+α-α=β=2α=∠B$

$故ABC是关于∠B的“差倍角三角形”.$

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