$解:解不等式组,得-3\leqslant x\leqslant \frac{3+a}{5}$
$∵该不等式组有且仅有三个整数解$
$∴-1\leqslant \frac{3+a}{5}<0$
$∴-8\leqslant a<-3$
$解\frac{3y}{y-2}+\frac{a+12}{2-y}=1,得y=\frac{a+10}{2}$
$根据分式的分母不能为0,得y≠2$
$∴a≠-6$
$由题意,得分式方程有整数解$
$∴a=-8或-4$
$∴满足条件所有a的值之和是(-8)+(-4)=-12$