$解：∵四边形ABCD是平行四边形，$
$∴AB//CD.$
$∴∠CDE=∠F.$
$∵ DF平分∠ADC，$
$∴ ∠ADE=∠CDE.\ $
$∴ ∠F=∠ADF.$
$∴AD=AF=6.$
$∵AB=3，$
$∴BF=AF-AB=3.$
$过点D作DH⊥AF，交FA的延长线于点H，则∠H=90°.$
$∵∠BAD=120°,∠BAD=∠H+∠ADH，$
$∴∠ADH=30°.$
$∴ 在 Rt△AHD 中，AH = \frac{1}{2} AD = 3.\ $
$∴ DH =\sqrt{AD^2-AH^2}=3 \sqrt{3}$
$∴ S_{△ADF}=\frac{1}{2}AF·DH=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$
