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$证明： (1) 由旋转的性质，知 A G=A F， \angle D A F=\angle B A G $

$ \because 四边形 A B C D 为正方形$

$ \therefore A B \perp E G， \angle B A D=90^{\circ} $

$ \because \angle E A F=45^{\circ}$

$\therefore \angle B A E+\angle D A F=45^{\circ}$

$ \therefore \angle B A E+ \angle B A G=45^{\circ} ，即 \angle E A G=45^{\circ} $

$ \therefore \angle E A G=\angle E A F$

$ 又 \because A E=A E$

$\therefore \triangle A G E≌ \triangle A F E (SAS) $

$(2) M N^{2}=N D^{2}+ B M^{2} ，理由如下：$

$如图，将 \triangle A B M 绕点 A 按逆时针方向旋转 90^{\circ} 得 \triangle A D M^{\prime} ，连接 N M^{\prime} $

$\because 四边形 A B C D 为正方形$

$ \therefore 易证 \angle A B D=\angle A D B=45^{\circ}， \angle B A M+\angle E A D=90^{\circ} $

$ 由旋转的性质，知 A M=A M^{\prime}， \angle A B M=\angle A D M^{\prime}=45^{\circ}， \angle B A M= \angle D A M^{\prime}， B M=D M^{\prime}$

$ \therefore \angle N D M^{\prime}=90^{\circ}， \angle D A M^{\prime}+ \angle E A D=90^{\circ} ，即 \angle E A M^{\prime}=90^{\circ} $

$ \therefore 在 Rt \triangle N D M^{\prime} 中， M^{\prime} N^{2}= N D^{2}+D M^{\prime 2} $

$ \because \angle E A M^{\prime}=90^{\circ}， \angle E A F=45^{\circ}$

$ \therefore \angle M A N= \angle M^{\prime} A N=45^{\circ} $

$又 \because A N=A N$

$\therefore \triangle A M N ≌ \triangle A M^{\prime} N (SAS)$

$ \therefore M N=M^{\prime} N$

$ 又 \because B M=D M^{\prime}$

$\therefore M N^{2}= N D^{2}+B M^{2} $

$证明： (1) \because 矩形 A E F G 是由矩形 A B C D 旋转得到的$

$\therefore A E=A B=C D，\angle A E F=\angle A B C=\angle D A B=90^{\circ}，\ $

$F E= B C=A D$

$\therefore \angle A E B=\angle A B E$

$\because \angle A B E+\angle E D A=90^{\circ} ，\ $

$\angle A E B+\angle D E F=180^{\circ}-\angle A E F=90^{\circ}$

$\therefore \angle E D A= \angle D E F$

$又 \because D E=E D， A D=F E$

$\therefore \triangle A E D ≌ \triangle F D E (SAS)$

$\therefore A E=F D$

$\therefore F D=C D$

$(2) 当 \alpha=60^{\circ} 或 300^{\circ} 时， G C=G B，理由如下：$

$若 G C=G B ，则点 G 必在 B C 的垂直平分线上分两种情况讨论:\ $

$①当点 G 在 A D 右侧时，如图①$

$设 B C 的垂直平分线 G H 交 A D 于点 M ，交 B C 于点 H ，连接 D G$

$\because 四边形 A B C D 是矩形$

$\therefore B C=A D， B C / / A D， \angle B C D= \angle A D C=90^{\circ}$

$\because G H 垂直平分 B C$

$\therefore \angle C H M=90^{\circ}， C H= \frac{1}{2} B C$

$\therefore 四边形 CHMD 为矩形$

$\therefore C H=D M， \angle H M D= 90^{\circ}$

$\therefore 易得 D M=\frac{1}{2} A D， G M \perp A D$

$\therefore G M 垂直平分 A D$

$\therefore A G=D G .\ $

$由旋转的性质，得 A D=A G$

$\therefore A D=A G=D G$

$\therefore \triangle A D G 是等边三角形$

$\therefore \angle D A G=60^{\circ} ，即旋转角 \alpha=60^{\circ}$

$②当点 G 在 A D 左侧时，如图②$

$设 A D 的垂直平分线 G M 交 B C 于点 H ，交 A D 于点 M ，\ $

$连接 D G同理，可得 \triangle A D G 是等边三角形$

$\therefore \angle D A G=60^{\circ}$

$\therefore 旋转角 \alpha=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}$

$综上所述，当 \alpha=60^{\circ} 或 300^{\circ} 时， G C=G B $