$(1) 证明： \because P Q 垂直平分 B E$
$\therefore Q B=Q E， O B=O E$
$\because 四边 形 A B C D 是矩形$
$\therefore A D / / B C$
$\therefore \angle Q B O=\angle P E O$
$在 \triangle B O Q 和 \triangle E O P 中，\begin{cases}\angle Q B O=\angle P E O \\ O B=O E\\∠ B O Q=∠E O P\end{cases}$
$\therefore \triangle B O Q≌ \triangle E O P (ASA)$
$\therefore Q B=P E$
$又 \because B C / / A D ， 即 Q B / / P E$
$\therefore 四边形 B P E Q 是平行四边形$
$又 \because Q B=Q E$
$\therefore 四边形 B P E Q 是菱 形$
$(2) 解：由 (1)， 得 O B=O E$
$\therefore B E=2 O B$
$\because F 为 A B 的中 点$
$\therefore B F=F A$
$\therefore O F 为 \triangle B A E 的中位线$
$\therefore A E=2 O F$
$\because O F+O B=9$
$\therefore A E+B E=2 O F+2 O B=18$
$设 A E=x ， 则 B E=18-x$
$\because 四边形 A B C D 是矩形$
$\therefore \angle A=90^{\circ}$
$\therefore 在 Rt \triangle A B E 中， 6^{2}+x^{2}=(18-x)^{2} ， 解得 x=8$
$\therefore A E=8 ， B E=18-x=10$
$\therefore O B=\frac{1}{2} B E=5$
$设 P E=y ， 则 A P=8- y$
$由 (1)， 得四边形 B P E Q 是菱形$
$\therefore B P=P E=y， P Q= 2 P O$
$\therefore 在 Rt \triangle A B P 中， 6^{2}+(8-y)^{2}=y^{2} ， 解得 y=\frac{25}{4}$
$\therefore B P=\frac{25}{4}$
$\therefore 在 Rt \triangle B O P 中， P O=\sqrt{B P^{2}-O B^{2}}=\frac{15}{4}$
$\therefore P Q=2 P O=\frac{15}{2}$
