$ 【探究】 (1)证明： 如图， 过点 G 作 G P \perp B C 于点 P $
$ 则 \angle B P G= \angle F P G=90^{\circ} $
$ \because 四边形 A B C D 是正方形\ \ \ $
$ \therefore A B=C B ， \angle A=\angle A B C=\angle E C B=90^{\circ} $
$ \therefore 四边形 A B P G 是矩形， \angle F P G=\angle E C B $
$ \therefore P G=A B \ \ \ $
$ \therefore P G=C B $
$ \because G P \perp B C ， F G \perp B E$
$ \therefore \angle P G F+\angle P F G=90^{\circ}， \angle C B E+\angle P F G=90^{\circ} $
$\therefore \angle P G F=\angle C B E $
$ 在 \triangle P G F 和 \triangle C B E 中$
$\begin{cases}\angle P G F=\angle C B E\\ P G=C B \\ \angle F P G=\angle E C B\end{cases}$
$ \therefore \triangle P G F≌ \triangle C B E ( \mathrm{ASA} )$
$ \therefore G F=B E$
$(2) 解：由 (1)， 得 G F=B E， \angle E C B=90^{\circ} $
$\because 在 Rt \triangle B C E 中， M 是 B E 的中点， C M=1$
$ \therefore B E=2 C M=2 \ \ \ $
$\therefore G F=2 $
$【应用】 \because 四边形 A B C D 是正方形\ \ \ $
$ \therefore \angle E C B=90^{\circ} $
$ \because 在 Rt \triangle B C E 中， M 是 B E 的中点， C M=3$
$\therefore B E=2 M E=2 C M=6 $
$ \therefore M E=3 $
$同 【探究】 (1)， 得 C G=B E=6 $
$ \because C G \perp B E$
$ \therefore S_{\text {四边形GMCE }}= \frac{1}{2} C G \cdot M E=\frac{1}{2} \times 6 \times 3=9 $
