$(1)证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，$
$∴ AD//BC.$
$∴∠AFO=∠EBO.\ $
$∵O是BF 的中点，$
$∴ OF=OB.$
$在△AOF和△EOB中，$
$\begin{cases}{∠AFO=∠EBO，}\\{OF=OB，}\\{∠AOF=∠EOB，}\end{cases}$
$∴△AOF≌△EOB.$
$∴OA=OE.$
$∵ OB=OF，$
$∴ 四边形ABEF是平行四边形$
$∵AB=AF，$
$∴ 四边形ABEF是菱形$
$(2)∵AD//BC$
$∴∠BAD+∠ABC=180°$
$∵∠BAD=120°$
$∴∠ABE=60°$
$∵四边形ABEF是菱形$
$∴AB=BE$
$∴△ABE是等边三角形$
$∴AE=AB$
$∵AD=BC，AF=BE$
$∴DF=EC=1$
$∵DF//EC$
$∴四边形EFDC是平行四边形$
$∴CD=EF$
$∵▱ABCD的周长为22$
$∴AB+BC+CD+AD=22$
$∴AB+BE+1+CD+AF+1=22$
$∴4AB=20$
$∴AB=AE=5$
