$ (1) 证明： \because 四边形 A B C D 是菱形$
$ \therefore O B=O D $
$ \because E 是 A D 的中点$
$ \therefore A E=D E$
$ \therefore O E 是 \triangle A B D 的中位线$
$\therefore O E / / F G $
$ \because O G / / E F$
$ \therefore 四边形 O E F G 是平行四边形$
$ \because E F \perp A B$
$ \therefore \angle E F G=90^{\circ} $
$\therefore 四边形 O E F G 是矩形 $
$(2)解： \because 四边 形 A B C D 是菱形$
$\therefore B D \perp A C， A B=A D=10 $
$ \therefore \angle A O D= 90^{\circ} $
$\because 在 Rt \triangle A O D 中， E 是 A D 的中点$
$ \therefore O E=A E= \frac{1}{2} A D=5 $
$ 由 (1)， 得四边形 O E F G 是矩形$
$ \therefore F G=O E=5 $
$ \because E F \perp A B， A E=5， E F=4$
$ \therefore 在 Rt \triangle A E F 中， A F= \sqrt{A E^{2}-E F^{2}}=3 $
$\therefore B G=A B-A F-F G=10-3-5=2 $
