$解： (1) \because 矩形 O A B C 的顶点 B 的坐标为 (3，4)$
$ \therefore O C= A B=4， O A=B C=3 $
$ 在 y=-\frac{2}{3} x+b 中， 令 x=0 ， 得 y=b $
$ \therefore 点 D 的坐标为 (0， b) \therefore O D=b $
$ \because O D=B E \therefore B E=b $
$ \therefore 点 E 的坐标为 (3，4-b) $
$ \because 点 E(3，4-b) 在直线 y= -\frac{2}{3} x+b 上$
$ \therefore 4-b=-\frac{2}{3} \times 3+b ， 解得 b=3 $
$(2) 由 (1)， 得点 D 、 E 的坐标分别为 (0，3) 、(3，1)， O A=3$
$ \therefore O D=3 ， A E=1 $
$ \therefore S_{\text {四边形 } O A E D}=\frac{1}{2}(A E+O D) \cdot O A=\frac{1}{2} \times(1+3) \times 3=6$
$ \because \triangle O D M 的面积与四边形 O A E M 的面积之比为 1: 3$
$\therefore S_{\triangle O D M}=\frac{1}{4} S_{\text {四边形OAED }}=\frac{3}{2} $
$ 设线段 D E 上的点 M 的坐标 为 (t，-\frac{2}{3} t+3) ， 易知 t\gt 0 ，则点 M 到 O D 的距离为 t $
$\therefore \frac{1}{2} \times 3 \cdot t=\frac{3}{2} ， 解得 t=1$
$\therefore 点 M 的坐标为 (1， \frac{7}{3}) $
$(3) 设线段 D E 上的点 M 的坐标为 (m，-\frac{2}{3} m+3) $
$由 (1)， 得点 D 、 E 的坐标分别为 (0，3) 、(3，1)$
$ \therefore O D=3， A E=1 ，分 两种情况讨论: $
$①当 O D 作为菱形的对角线时， 如图 ①， 得菱 形 O M D N ， 连接 M N .$
$\therefore M N \perp O D， M N 、 O D 互相平分$
$ \therefore-\frac{2}{3} m+3=\frac{1}{2} \times 3 ， 解得 m=\frac{9}{4}$
$ \therefore 点 M 的坐标为 (\frac{9}{4}， \frac{3}{2}) $
$ 此时点 N 的坐标为 (-\frac{9}{4}， \frac{3}{2}) $
$② 当 O D 作为菱 形的一边时， 如图②， 得菱形 O M N D ， 连接 O N $
$ \therefore M N / / O D ， M N=O M=O D=3$
$ 根据点 M 的坐标为 (m，-\frac{2}{3} m+3) ， 可 得点 N 的坐标为 (m，-\frac{2}{3} m+6) $
$ 过点 M 作 M P \perp x 轴于点 P ， 则在 Rt \triangle O P M 中， O P=m， M P=-\frac{2}{3} m+3 $
$由勾股定 理， 得 m^{2}+(-\frac{2}{3} m+3)^{2}=3^{2} ， 化简， 得 \frac{13}{9} m^{2}-4 m=0 $
$由题 意， 可知点 M 与点 D 不重合， 即 m \neq 0 ， 解得 m=\frac{36}{13} $
$此时点 N 的坐标为 (\frac{36}{13}， \frac{54}{13}) $
$综上所述， 满足题意的点 N 的坐标为 (-\frac{9}{4}， \frac{3}{2}) 或 (\frac{36}{13}， \frac{54}{13}) $
