第23页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

$\sqrt{26}$

2

$(-1.5,2)$

$\frac{25}{2} $

$解：在Rt△ADC中,AC=13,AD=12,由勾股定理,得CD^2=AC^2-AD^2=25$

$∴CD=5(负值舍去)$

$∵ BC=14$

$∴BD=BC-CD=9$

$在Rt△ABD中，由勾股定理,得AB^2=AD^2+BD^2=225$

$∴ AB=15(负值舍去)$

$证明：(1) 由题意,易知∠C=∠D=90°, Rt△ABC≌Rt△BED$

$∴∠ABC=∠BED$

$∴∠ABC+∠EBD =∠BED +∠EBD=180°-∠D=90°$

$∴∠ABE=90°$

$(2) 由题意,得S_{梯形ACDE}=\frac 12(a+b)(a+b)=\frac 12c^2+ab，$

$即\frac 12(a^2+b^2+2ab)=\frac 12c^2+ab$

$∴a^2+b^2=c^2$

$解：如图,连接BD$

$∵在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为边AC的中点$

$∴AB= BC,∠A = ∠C=∠ABD=∠CBD=45°，∠BDC=90°$

$∴ CD= BD=AD$

$又∵DE⊥DF$

$∴∠EDF=90°$

$∴∠EDB +∠BDF =∠BDF+∠FDC= 90°$

$∴∠FDC=∠EDB$

$在△FCD和△EBD中$

$\begin{cases} ∠FDC= ∠EDB\\CD= BD\\∠C=∠ EBD\end{cases}$

$∴△FCD≌△EBD(\mathrm {ASA})$

$∴FC=EB=3$

$∴ AB=AE+EB=7$

$∴BC=7$

$∴ BF= BC-FC=4$

$在Rt△BEF中,由勾股定理,得EF^2=EB^2+ BF^2=3^2+4^2=25$

$∴ EF=5(负值舍去)$