$解：当 n=1 时, a=\frac{1}{2}(m^{2}-1), b=m, c= \frac{1}{2}(m^{2}+1)$ $当 a=5 时, \frac{1}{2}(m^{2}-1)=5 , 解得 m=\pm \sqrt{11} (不 合题意, 舍去)$ $当 b=5 时, m=5, \therefore a=12, c=13$ $当 c=5 时, \frac{1}{2}(m^{2}+1)=5 , 解得 m=\pm 3$ $\because m\gt 0, \therefore m=3$ $\therefore a= 4，b=3$ $综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4$
$证明： (1) \because A D 是 \triangle A B C 的边 B C 上的中线$ $\therefore B D=C D$ $又 \because \angle A D B=\angle E D C, A D=E D=2$ $\therefore \triangle A B D ≌ \triangle E C D$ $\therefore A B=E C=3$ $\because A E=A D+E D=4$ $\therefore A E^{2}=16$ $又 \because E C^{2}=9, A C^{2}=25 , 且 9+16=25$ $\therefore E C^{2}+A E^{2}=A C^{2}$ $\therefore \triangle A E C 为直角三角形, 且 \angle E=90^{\circ} , 即 C E \perp A E$ $（2）在 Rt \triangle C E D 中, 由勾股定理, 得 C D=\sqrt{C E^{2}+E D^{2}}=\sqrt{13}$ $\therefore B C=2\ \mathrm {C} D=2 \sqrt{13}$
$证明：(1) \because A D \perp B C$ $\therefore \angle A D B=\angle A D C=90^{\circ}$ $在 Rt \triangle A B D 中, A D=4, B D=2，$ $\therefore A B^{2}=A D^{2}+B D^{2}=20$ $在 Rt \triangle A C D 中, C D=8, A D=4,\ $ $\therefore A C^{2}=C D^{2}+A D^{2}=80$ $\because B C=C D+ B D=10 $ $\therefore B C^{2}=100 $ $\because 20+80=100,\ $ $\therefore A B^{2}+A C^{2}= B C^{2} $ $\therefore \angle B A C=90^{\circ}$
$解:(2)由（1）, 易 得 A B= \sqrt{A D^{2}+B D^{2}}=2 \sqrt{5} .\ $ $分两种情况:$ $①当 B P=A B 时, B P= A B=2 \sqrt{5} $ $②当 A P=A B 时, \because A D \perp B C $ $\therefore B D=D P .\ $ $\therefore B P=2\ \mathrm {B} D=4 $ $综上所述, B P 的长为 2 \sqrt{5} 或 4$
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