解：$(1)$由图乙知，高挡功率$P_{1}=660\ \mathrm {W}$，$t_{1}=10 \mathrm {\mathrm {min}}=600\ \mathrm {s}$，
低挡功率$P_{2}=220\ \mathrm {W}$，$t_{2}=20 \mathrm {\mathrm {min}}=1200\ \mathrm {s}$，
$10 \mathrm {\mathrm {min}}$内电路消耗的电能：$W=P_{1}\ \mathrm {t}_{1}=660\ \mathrm {W}×600\ \mathrm {s}=3.96×10^5\ \mathrm {J}$；
$(2)$由图甲可知，当$S_{1}$、$S_{2}$都闭合时，$R_{1}$、$R_{2}$并联，电路中电阻较小，由$P=\frac {U^2}{R}$可知，电功率较大，为''高挡''；当$S_{1}$闭合、$S_{2}$断开时，电路中只有$R_{1}$，电路中电阻较大，由$P=\frac {U^2}{R}$可知，电功率较小，为''低挡''；
通过$R_{1}$的电流：$I_{1}=\frac {P_{2}}{U}=\frac {220\ \mathrm {W}}{220\ \mathrm {V}}=1\ \mathrm {A}$；
$(3)R_{2}$的功率：$P_{2}′=P_{1}-P_{2}=660\ \mathrm {W}-220\ \mathrm {W}=440\ \mathrm {W}$，
电阻$R_{2}$的阻值：$R_{2}=\frac {U^2}{P_{2}′}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{440\ \mathrm {W}}=110\ \mathrm {Ω}.$
