解：$(1)$太阳能热水器内的水吸收的热量
$Q_{吸}=c_{水}m∆t=4.2× 10^3\ \mathrm {J/}(\mathrm {kg·℃})×100\ \mathrm {kg}×(40℃-20℃)=8.4×10^6\ \mathrm {J}.$
$(2) $已知太阳能热水器吸收太阳能的效率为$ 50\%$，接收的太阳能$ E=\frac {Q_{吸}}η= \frac {8.4×10^6\ \mathrm {J}}{50\%}=1.68×10^7\ \mathrm {J}$，太阳能热水器接收太阳能的总功率$P=1.2×10^3\ \mathrm {W/}\mathrm {m^2}×2\ \mathrm {m^2}=2.4×10^3\ \mathrm {W}$，则水由$20℃$升温到$40℃$所用时间$t_{0}=\frac {E}{P}=\frac {1.68×10^7\ \mathrm {J}}{2.4×10^3\ \mathrm {W}}=7000\ \mathrm {s}.$
