第125页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

$解： (1) 如图①所示$

$(2)DE^{2}=E C^{2}+B D^{2} ，理由：$

$如图，连接 E F$

$由旋转, 可知 A F=A D, C F=B D, \angle A C F=\angle B , \angle D A F=90^{\circ}$

$\because \angle D A E=45^{\circ}$

$\therefore \angle D A E=\angle F A E=45^{\circ}$

$在 \triangle D A E 和 \triangle F A E 中$

$\begin{cases}A D=A F \\ \angle D A E=\angle F A E\\ A E=A E\end{cases}$

$\therefore \triangle D A E≌ \triangle F A E$

$\therefore D E=F E$

$\because A B=A C, \angle B A C=90^{\circ}$

$\therefore \angle B= \angle A C B=45^{\circ}$

$\therefore \angle A C F=\angle B=45^{\circ}$

$\therefore \angle E C F=\angle A C B+ \angle A C F=90^{\circ}$

$\therefore 在 \mathrm{Rt} \triangle E C F 中, 由勾股定理, 得 F E^{2}= E C^{2}+C F^{2}$

$\therefore D E^{2}=E C^{2}+B D^{2}$

$解：(1) ∵AC⊥BD$

$∴∠AOD=∠AOB=∠BOC =∠COD= 90°$

$在Rt△AOD, Rt △BOC, Rt△AOB,Rt△COD中,由勾股定理得$

$AD^2 = AO^2 + DO^2, BC^2 =BO^2+CO^2 ,$

$AB^2=AO^2+ BO^2 ,CD^2=CO^2 +DO^2$

$∴AD^2+ BC^2=AO^2+ DO^2+ BO^2+CO^2，$

$AB^2+CD^2=AO^2+ BO^2+CO^2+DO^2$

$∴ AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$

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$\frac{7}{4}$

$解:(3) 如图②，将 \triangle A D N 绕点 A 按顺时针方向旋转 90^{\circ} ,\ $

$得到 \triangle A B E$

$由旋转, 得 \angle N A E=90^{\circ}, A E=A N,$

$\ B E=D N, \angle A B E=\angle D$

$在正方形 A B C D 中, \angle A B C=\angle D=90^{\circ}$

$\therefore \angle A B E+\angle A B C=180^{\circ} , 即 E, B, M 三点共线$

$\because B M+D N=M N$

$\therefore B M+B E=M N , 即 M E=M N$

$在 \triangle A E M 和 \triangle A N M 中$

$\begin{cases}A E=A N \\ M E=M N \\ A M=A M\end{cases}$

$\therefore \triangle A E M ≌ \triangle A N M$

$\therefore \angle M A N=\angle M A E=\frac{1}{2} \angle N A E=45^{\circ}$

$解:(2) ①如图,连接PC,AQ交于点D$

$∵ △ABP和△BCQ都是等腰直角三角形$

$∴PB=AB=5，BC=NQ=4，$

$∠ABP=∠CBQ=90°$

$∴PA=\sqrt{PB^2+AB^2}=5\sqrt{2}，$

$CQ=\sqrt{BC^2+BQ^2}=4\sqrt{2}，$

$∠ABP+∠ABC=∠CBQ+∠ABC，$

$即∠BPC=∠ABQ$

$在△PBC和△ABQ中$

$\begin{cases}PB=AB\\∠PBC=∠ABQ\\BC=BQ\end{cases}$

$∴△PBC≌△ABQ$

$∴∠BPC=∠BAQ$

$又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP=90°\ $

$∴∠BAQ+∠CPA+∠BAP=90°$

$∴∠PDA=90° ∴PC⊥AQ$

$∵∠ACB=90°$

$∴在Rt△ABC中，AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=3$

$由(1)可得AP^2+CQ^2=AC^2+PQ^2，$

$即(5\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2=3^2+PQ^2 $

$∴PQ=\sqrt{73}$