第128页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

$解：(1) ① 由题意，得 A D=D C=D E$

$\therefore \angle D E A=\angle D A E$

$\because \angle A D C=90^{\circ}， \angle C D E=\alpha$

$\therefore \angle A D E=90^{\circ}+\alpha$

$\therefore \angle D E A=\frac{1}{2}[180^{\circ}-(90^{\circ}+\alpha)]=45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$

$② \triangle A E F 是等腰直角三角形，理由：$

$\because \angle C D E=\alpha， D E=D C$

$\therefore \angle D E C= \frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha$

$\therefore \angle A E F=\angle D E C-\angle D E A= 90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha-(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=45^{\circ}$

$\because D F \perp A E， A D=D E$

$\therefore D F 垂直平分AE$

$∴FA=FE$

$∴∠EAF=∠AEF=45°$

$∴∠AFE=90°$

$∴△AEF是等腰直角三角形$（更多请点击查看作业精灵详解）

$证明:(1)如图，连接BD，交AC于点O$

$∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴ BO=DO$

$∵BE=EF$

$∴OE是△BDF 的中位线$

$∴OE//DF，即DF//AC$

（更多请点击查看作业精灵详解）

$2 \sqrt{10} $

$证明:(2) 由(1)，得DF//AC$

$∴∠DFG=∠CEG，∠GDF=∠GCE$

$∵G 是CD的中点$

$∴DG=CG$

$在△DFG 和△CEG 中$

$\begin{cases}∠DFG=∠CEG\\∠GDF=∠GCE\\DG=CG\end{cases}$

$∴△DFG≌△CEG$

$∴FG=EG$

$∴四边形CFDE是平行四边形$

$∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴AB=CD$

$∵2AB= BF$

$∴2CD= BF$

$又∵EF=BE$

$∴2EF=BF$

$∴CD=EF$

$∴四边形CFDE是矩形$

$解:(2)连接AC$

$∵EH⊥CD$

$∴∠EHD=∠EHC=90°$

$∵四边形ABCD是正方形$

$∴AB= BC= DC=AD= \sqrt{10}，∠ABC=90°$

$∴DE=\sqrt{10}$

$∴在Rt△ABC中，AC= \sqrt{AB^2+BC^2} =2\sqrt{5}$

$∴在Rt△AFC中，EF=AF= \sqrt{AC^2-CF^2}F =3\sqrt{2}$

$∴ EC=EF-CF=2\sqrt{2}$

$在Rt△EHD和Rt△EHC中$

$EH^2= ED^2 - DH^2= EC^2-CH^2$

$设CH=x，则DH =\sqrt{10}-x$

$∴ (\sqrt{10})^2-(\sqrt{10}-x)^2=(2\sqrt{2})^2-x^2$

$解得x=\frac 25\sqrt{10}$

$∴CH=\frac 25\sqrt{10}$