$解:(1)如图.$
$(2)①∵将正方形ABCD沿EF翻折，使点B,C分别落在点B',C'处，且B'C'经过点D,$
$ ∴∠GCF=∠DC'F=90°,FC=FC'.$
$又∵∠CFG=∠C'FD,$
$ ∴△CFG≌△C'FD.$
$∴GF=DF\ $
$②如图②，连接CC'，过点F作FN⊥AB于点N,$
$则易得四边形BCFN是矩形.$
$∴ CF=BN,∠NFD=90°,NF=BC.\ $
$∵ 四边形ABCD是正方形，$
$ ∴∠BCD=90°,AB=CD=BC.$
$∴ NF=CD,AN=DF.$
$由翻折，得EF⊥CC',$
$∵DF=GF,CF=C'F,$
$∴∠FDG=∠FGD,∠FCC'=∠FC'C.\ $
$又∵ ∠DFC' =∠FDG+∠FGD=∠FCC'+∠FC'C,$
$∴ ∠FDG=∠FCC'.\ $
$∴ DG//CC'.\ $
$又∵EF⊥CC',\ $
$∴ DG⊥EF.\ $
$∴ ∠GDC+∠DFM=90°.$
$ ∵∠NFD=90°,$
$∴ ∠EFN+∠DFM=90°$
$∴ ∠EFN=∠GDC.$
$∵ NF=CD,∠ENF=∠GCD=90°,$
$∴△ENF≌△GCD.$
$∴ EN=GC.$
$∵ AN=AE+EN,AN=DF,$
$∴ DF=AE+GC，即AE+CG=DF$
