$解：(2)当n=1，m=2时，a=2^2+3×1=7，b=2mn=4$
$∴当a=7，b=4，m=2，n=1时，a+b+m+n的值最小$
(3)(m+n\sqrt_{5})^2=\ \mathrm {m^2}+2\sqrt_{5}mn+5n^2=a+6\sqrt_{5}
$∴a=\ \mathrm {m^2}+5n^2，6=2mn$
$∴mn=3$
$∵a、m、n均为正整数$
$∴m=1，n=3或m=3，n=1$
$当m=1，n=3时，a=1^2+5×3^2=46；$
$当m=3，n=1时，a=3^2+5×1^2=14$
$综上所述，a的值为14或46$
