$解:(1)在y=2x+2中，令x=0，得y=2，$
$∴B(0,2).$
$在y=2x+2中，令y=0，得x=-1，$
$∴A(-1,0)$
$(3)存在 设M(m,n),P(p,2p+2).$
$由(2),知A'(-2,-2)，Q(-5,2).$
$①若A'P,QM为对角线，则A'Q=QP.$
$又∵QA⊥AP,$
$∴A'A=AP.$
$∴易得此时点P与点B重合.$
$∴P(0,2).$
$②若A'M,PQ为对角线，则A'M,PQ的中点重合,且A'P=A'Q,$
$∴\begin{cases}{m-2=p-5}\\{n-2=2p+2+2}\\{(p+2)²+(2p+2+2)²=(-2+5)²+(-2-2)²}\end{cases}$
$解得m=\sqrt{5}-5,n=2\sqrt{5}+2,p=\sqrt{5}-2或m=-\sqrt{5}-5,n=-2\sqrt{5}+2,p=-\sqrt{5}-2$
$∴P(\sqrt{5}-2,2\sqrt{5}-2)或(-\sqrt{5}-2,-2\sqrt{5}-2)$
$综上所述，点P的坐标为(0,2)或(\sqrt{5}-2,2\sqrt{5}-2)或(-\sqrt{5}-2,-2\sqrt{5}-2)\ $
