第35页 - 亮点给力提优课时作业本八年级数学江苏版

$(1)$证明：由题意得$△ADP≌△ABP'$，$PA=1$，$PB= \sqrt {8}$，$PD= \sqrt {10}$，

$∠BAD=90°$，$AB=AD$

∴$P'A =PA = 1$，$P'B =PD= \sqrt {10}$，$∠P'AB=∠PAD$，

$∠PAD+∠PAB=90°$，即$∠P'AB+∠PAB=90°$

∴$∠P'AP=90°$，即$△APP'$是等腰直角三角形

$(2)$解：$△BPP'$是直角三角形

∵由$(1)$得$ P'A= PA=1$，$∠P'AP=90°$，$△APP'$是等腰直角三角形，

$PB = \sqrt {8}$，$P'B = PD = \sqrt {10}$

∴$∠APP'=45°$

在$Rt△APP'$中，由勾股定理，得$P'P²=P'A²+PA²=2$

∴$P'P²+PB²=10=P'B²$，即$∠P'PB=90° $

∴$△BPP '$是直角三角形

∵又$∠APP'+∠P'PB+∠BPQ=180°$

∴$∠BPQ = 180° - ∠APP' -∠P'PB=45°$

$(3)$过点$B$作$BE⊥AQ $于点$E$，则$∠BPQ+ ∠PBE=90°$

由$(1)(2)$，得$PA=1$，$PB= \sqrt {8}$，$∠BPQ=45°$

∴$∠PBE=90°-∠BPQ=45°$，即$∠PBE=∠BPQ$

∴$PE=BE$

在$Rt△PBE$中，由勾股定理，得$ PE²+BE²=PB²$

∴$2BE²=8$，即$BE=2($负值已舍去$)$

∴$PE=2$，即$AE=PA+PE=3$

∵在$Rt△ABE $中，由勾股定理，得$ AB=\sqrt {AE²+BE²}= \sqrt {13}$

则正方形$ABCD$的边$AB$的长为$ \sqrt {13}$

A

$\sqrt {61} $

解：$(1)①$∵$AD=30$，$DM=10$

∴当点$M$在线段$AD$的延长线上时，$AM=AD+DM=40$

当点$M$在线段$AD$上时，$AM=AD-DM=20$

$②$显然$∠MAD$不能为直角

当$∠AMD={90}°$时，$AM=\sqrt {AD^2-DM^2}=\sqrt {800}$

当$∠ADM={90}°$时，$AM=\sqrt {AD^2+DM^2}=\sqrt {1000}$

综上所述，满足条件的$AM$的值为$\sqrt {800}$或$\sqrt {1000}$

$(2)$连接$CD_{1}$，如图所示

由题意：$∠D_{1}AD_{2}={90}°$，$AD_{1}=AD_{2}=30$

∴$△AD_{1}D_{2}$是等腰直角三角形，即$∠AD_{2}D_{1}={45}°$

∴$D_{1}D_{2}=\sqrt {AD_{1}^2+AD_{2}^2}=\sqrt {1800}$

∵$∠AD_{2}C={135}°$

∴$∠CD_{2}D_{1}=∠AD_{2}C-∠AD_{2}D_{1}={90}°$

∴$CD_{1}=\sqrt {CD_{2}^2+D_{1}{D_{2}}^2}=\sqrt {5400}$

∵$∠BAC=∠D_{1}AD_{2}={90}°$

∴$∠BAC-∠CAD_{2}=∠D_{2}AD_{1}-∠CAD_{2}$

在$△BAD_{2}$和$△CAD_{1}$中

$\begin {cases}{AB=AC}\\{∠BAD_{2}=∠CAD_{1}}\\{AD_{2}=AD_{1}}\end {cases}$

∴$△BAD_{2}≌ △CAD_{1}(\mathrm {SAS})$

∴$BD_{2}=CD_{1}=\sqrt {5400}$