证明：$(1)$∵$AE=AD$，$AC⊥DE$
∴$AC$平分$∠DAE$，即$∠DAC=∠EAC$
∵四边形$ABCD$为平行四边形，∴$AD//BC$
∴$∠DAC=∠BCA$，∴$∠BCA=∠EAC$
$(2)$∵$AC⊥DE$，∴$∠ACE=90°$
在$Rt△ACE$中，$AC=4$，$CE=3$，由勾股定理，得$AE= \sqrt {AC²+CE²} =5$
由$(1)$得$∠BCA=∠EAC$，∴$OA=OC$
∴$△COE$的周长为$OC+OE+CE=OA+OE+CE=AE+CE=8$
