第41页 - 亮点给力提优课时作业本八年级数学江苏版

解：$(1)①$∵四边形$ABCD$是平行四边形，$AD=5$

∴$AB//CD$，$AB=CD$，$BC=AD=5$，即$∠DEA=∠EAB$

∵$AE$平分$∠DAB$，∴$∠DAE=∠EAB$，即$∠DAE=∠DEA$

∴$DE=AD=5$

同理，得$BC=CF=5$

∵点$E$与点$F{重合}$，∴$AB=CD=DE+CF=10$

$②$当点$E$与点$C$重合时，得$DE=AD=5$，$CF=BC=5$

∴点$F $与点$D$重合，即$EF=DE=5$

$(2)$由$(1)$，得$AB=CD$，$AD=BC$，$AD=DE$，$CF=BC$

由$C$，$D$，$E$，$F $四点每相邻两点间的距离相等，分类讨论如下：

$①$当$ DE=EF=CF $时，$AD=DE=\frac {1}{3}\ \mathrm {CD}=\frac {1}{3}\ \mathrm {AB}$，即$\frac {AD}{AB}=\frac {1}{3}$；

$②$当$ DF=FE=CE$时，$AD=DE=2DF$，$AB=CD=3DF$，即$\frac {AD}{AB}=\frac {2}{3}$

$③$当$ FD=DC=CE$时，$AD=DE=2DC$，$AB=DC$，∴$\frac {AD}{AB}=2$

综上，$\frac {AD}{AB}$的值为$\frac {1}{3}$或$\frac {2}{3}$或$2$

①②③④

解：$(1)$∵四边形$ABCD$是平行四边形，$△ABE $是等边三角形

∴$∠BAD=∠BCD$，$AD//BC$，$∠BAE=60°$

∴$∠ADC+∠BCD=180°$

∵$∠DCF=∠DAE$

∴$∠BCD-∠DCF = ∠BAD -∠DAE$，即$∠BCF =∠BAE=60°$

∵$CF⊥DE$，∴$∠CDF+∠DCF = 90°$

∴$∠ADC +∠BCD =∠ADE +(∠CDF +∠DCF ) +∠BCF=∠ADE+90°+60°=180°$

∴$∠ADE=30°$

证明：$(2)$连接$ CE$

∵$F $是$DE $的中点，$CF⊥DE$，∴$CD=CE$，$∠DCF=∠ECF$

∵四边形$ABCD $是平行四边形，$△ABE $是等边三角形

∴$AB=BE=CD=CE$，$AB//CD$，$∠ABE=60°$

∴$∠EBC=∠ECB$，$∠ABC + ∠DCB = 180°$

∴$∠ABE +∠EBC+∠ECB+∠DCF+∠ECF=180°$，即$60°+2∠ECB+2∠ECF=180°$

∴$∠FCB=∠ECF+∠ECB=60°$

又$BN=CM$，∴$△EBN≌△ECM(\mathrm {SAS})$，∴$EN=EM$

∵$EM⊥DE$，∴$CF//EM$，∴$∠FCB=∠EMN$

∴$∠EMN=60°$，∴$△EMN $是等边三角形

∴$EM=MN$，∴$BM=BN+MN=CM+EM$