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C

D

1

$2$或$1+ \sqrt {2}$

2

$\frac {15}{4} $

证明：$(1)$∵$MN$是线段$AC$的垂直平分线

∴$MN⊥AC$，$OA=OC$，$∠AOM=∠CON$

又四边形$ABCD $是矩形

∴$AB//CD$

∴$∠OAM=∠OCN$

∴$△AOM≌△CON(\mathrm {ASA})$

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