$(1)$证明：过点$E$作$EF⊥AM$于点$F$，连接$EM$
则$∠AFE=∠EFM=90°$
∵四边形$ABCD$是矩形
∴$∠C=∠D=90°$，即$∠AFE=∠EFM=∠C=∠D$
∵$ E$是$CD$的中点，∴$ED=EC$
∵$ AE $平分$∠DAM$，∴$∠DAE=∠FAE$
∵又$AE=AE$，∴$△AEF≌△AED(\mathrm {AAS})$
∴$AF=AD$，$EF=ED$，即$ EF=EC$
∵$EM = EM$，∴$Rt△EFM ≌Rt△ECM(\mathrm {HL})$
∴$MF=MC$
∵$AM=AF+MF$，∴$AM=AD+MC$
$(2)$解：$(1)$中的结论成立，理由如下：
分别延长$ AE$、$BC$交于点$H$
∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$AD//BC$，即$AD//BH$
∴$∠DAE=∠CHE$
∵$ E $是$CD $的中点，∴$DE = CE$
∵$∠AED = ∠HEC$
∴$△ADE≌△HCE(\mathrm {AAS})$，∴$AD=HC$
∵$AE$平分$∠DAM$
∴$∠DAE=∠MAE$，即$∠MAE=∠CHE$
∴$AM=HM$
∵$HM=HC+MC$，∴$AM=AD+MC$
