证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形
∴$BC=CD$，$∠BCA=∠DCA = 45°$
又$ CF= CF$，∴$△BCF≌△DCF(\mathrm {SAS})$，∴$∠CBF=∠CDF$
解：$(2)BF⊥AE$，理由如下：
∵四边形$ABCD$是正方形，∴$AB=DC$，$∠ABC=∠DCB=90°$
又$ E$是$BC $的中点，∴$BE=CE$
∴$△ABE≌△DCE (\mathrm {SAS})$，∴$∠BAE =∠CDE$
由$(1)$得$∠CBF=∠CDF$，且$∠CDF=∠CDE$
∴$∠CBF=∠BAE$
$ $又$∠BAE+∠AEB=90°$，∴$∠CBF+∠AEB=90°$
设$AE $交$ BF $于点$ H$
又$∠AHB =∠CBF+∠AEB$
∴$∠AHB=90°$，即$BF⊥AE$
