证明：$(1)$∵折叠纸片使点$B$落在边$AD$上的点$E $处，折痕为$PQ$
∴点$B$与点$E$关于$PQ $对称
∴$PB=PE$，$BF=EF$，$∠BPF=∠EPF$
又$EF//AB$，∴$∠BPF=∠EFP$，即$∠EPF=∠EFP$
∴$PE=EF$，∴$PB=BF=EF=PE$
∴四边形$PBFE$为菱形
解：$(2)①$∵四边形$ABCD $是矩形，$AB=6$，$AD=10$
∴$BC=AD=10$，$CD=AB=6$，$∠A=∠D=90°$
由折叠的性质，得$CE=BC= 10$，$PB=PE$
在$Rt△CDE$中，由勾股定理，得$DE= \sqrt {CE²-CD²}=8$
∴$AE=AD-DE=2$
在$Rt△APE $中，$AP=AB-PB=6-PE$
由勾股定理，得$PE²=AE²+AP²$
∴$PE²=2²+(6-PE)²$，解得$PE=\frac {10}{3}$
∴菱形$PBFE$的边长为$\frac {10}{3}$
$②$设$AE=x$，$PB=PE=y$，则$AP=6-y$
由$①$得点$Q $与点$C$重合时，$AE$的长取最小值，且最小值为$2$
易得当点$P $与点$A$重合时，$AE$的长取最大值，且最大值为$6$
∴$2≤x≤6$
在$Rt△APE$中，由勾股定理，得$ PE²=AE²+AP²$
∴$y²=x²+(6-y)²$，即$y=\frac {x^2}{12}+3$
∴$S _{菱形PBFE}=xy=\frac {x^3}{12}+3x$
显然$x$越大，$S $菱形$PBFE$越大
∴当$x=6$时，菱形$PBFE$取最大值，且最大值为$36$
当$x=2$时，菱形$PBFE$取最小值，且最小值为$\frac {20}{3}$
