解：$(1)△OMN$是等腰三角形
$(2)△AGD$是直角三角形，证明如下：
如图，连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$HF$，$HE$
∵$F $是$AD$的中点
∴$AF=DF$，$HF $是$△ABD $的中位线，即$ HF//AB$，$HF=\frac {1}{2}AB$
同理，得$HE//CD$，$HE=\frac {1}{2}CD$
∵$AB=CD$，∴$HF=HE$
∵$∠EFC=60°$，∴$∠FEH=∠EFC=60°$
∴$△EHF $是等边三角形
∴$∠HFE=60°$，∴$∠1=∠HFE=60°$
∵$∠AFG = ∠EFC = 60°$，$∠1 + ∠AFG +∠FAG=180°$
∴$∠FAG=60°$，∴$△AGF $是等边三角形
∴$AF=GF$，∴$GF=FD$，∴$∠FGD = ∠FDG$
又$∠AFG =∠FGD+∠FDG$，∴$∠FGD=\frac {1}{2}∠AFG=30°$
∴$∠AGD=∠1+∠FGD=90°$，即$△AGD$是直角三角形
