解：$(2)$结论仍旧成立，即$GM=GN$，$GM⊥GN$，理由如下：
如图，连接$CD$，$BE$交于点$ H$，设$CD$，$AB$交于点$F$
∵$△ABD$和$△ACE$都是等腰直角三角形
∴$∠BAD=∠CAE=90°$，$AB=AD$，$AC=AE$
∴$∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC$，即$∠CAD=∠EAB$
∴$△ACD≌△AEB (\mathrm {SAS})$，∴$CD = EB$，$∠ADC=∠ABE$
又$∠BHF=180°-∠BFH-∠ABE$，$∠DAF= 180°-∠AFD-∠ADC$，$∠BFH=∠AFD$
∴$∠BHF=∠DAF=90°$，∴$CD⊥EB$
∵$M$，$G $分别是$BD$，$BC$的中点，∴$GM $是$△BCD $的中位线
∴$GM//CD$，$GM=\frac {1}{2}\ \mathrm {CD}$
同理，得$GN//EB$，$GN=\frac {1}{2}EB$
∴$GM=GN$，$GM⊥GN$
$(3)△GMN$为等腰直角三角形$.$证明如下：
如图，连接$EB$，$DC$并延长交于点$H$
∵$△ABD$和$△ACE$都是等腰直角三角形
∴$∠BAD=∠CAE=90°$，$AB =AD$，$AC=AE$
∴$∠BAD - ∠BAC = ∠CAE -∠BAC$，即$∠CAD = ∠EAB$
∴$△ACD ≌△AEB(\mathrm {SAS})$，∴$CD=EB$，$∠ADC=∠ABE$
∵$∠ABE+ ∠ABH = 180°$，∴$∠ADC +∠ABH=180°$
∵四边形$ABHD$的内角和为$360°$，∴$∠H=90°$，即$EH⊥DH$
∵$M$，$G $分别是$BD$，$BC$的中点，∴$GM$是$△BCD$的中位线
∴$GM//CD$，$GM=\frac {1}{2}CD$
同理，得$GN//EB$，$GN=\frac {1}{2}EB$，∴$GM=GN$，$GM⊥GN$
∴$△GMN$为等腰直角三角形
