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AE=DF

解：$(2)$如图$①$，过点$E$作$EM⊥BC$于点$M$

则$ ∠EMF=∠EMB=90°$

∵四边形$ABCD$是正方形

∴$∠A=∠ABC=∠C=90°$，$AB=BC$

∴四边形$ABME $为矩形，即$ AB=EM$

∴$EM=BC$

∵$BG⊥EF$

∴$∠BHF=90°$，即$∠CBG+∠EFM=90°$

又$∠MEF + ∠EFM = 90°$

∴$∠CBG =∠MEF$

∴$△BCG≌△EMF(\mathrm {ASA})$

∴$EF=BG$

$(3)$如图$②$，连接$MN$

∵$M$，$N$两点关于$ EF $对称

∴$MN⊥EF$

过点$E$作$EH⊥BC$于点$ H$，

过点$ M $作$MG⊥CD $于点$ G$，

则$∠EHF=∠EHB =∠MGC=∠MGN =90°$

∵四边形$ABCD$是正方形

∴$AB=BC$，$∠A=∠B=∠C=90°$

∴$BC⊥CD$，则$EH⊥MG$

同$(2)$得四边形$ABHE$和四边形$BCGM$都是矩形，

$∠GMN=∠HEF$

∴$AE=BH$，$MB=CG$，$EH=AB=BC=MG$

∴$△EHF≌△MGN(\mathrm {ASA})$，∴$NG=HF$

∵$AE=2$，$BF=4$，∴$NG=HF=2$

∵$MB=1$

∴$NC=NG+CG=HF+MB=3$

4

解：取$BC$的中点$F$，连接$MF$，$NF$

∵$M$，$N$分别是$BE$，$CD$的中点

∴$MF $是$△BCE$的中位线，$NF $是$△BCD$的中位线

∴$MF=\frac {1}{2}CE$，$MF//CE$，$NF//BD$，$NF=\frac {1}{2}BD$

∴$∠APQ=∠FNM$，$∠CFN=∠ABC$，$∠BFM=∠ACB$

∵$BD=CE$，∴$MF=NF$，即$∠FMN =∠FNM$

∵$∠A = 40°$，$∠A +∠ABC +∠ACB=180°$，

$∠BFM+∠MFN+∠CFN=180°$

∴$∠MFN=∠A=40°$

∵$∠MFN+∠FMN+∠FNM=180°$

∴$∠FNM=\frac {1}{2}(180°-∠MFN)=70°$，即$∠APQ=70°$

证明：延长$FE$至点$N$，使$EN=EF$，连接$BN$，$AN$

则$E$是$FN$的中点

又$M$是$AF $的中点

∴$ME$是$△AFN$的中位线，即$ME=\frac {1}{2}AN$

∵$∠BEF=90°$

∴$BE$垂直平分$FN$

∴$BF=BN$

∴$∠BNF=∠BFN$

∵$△BEF $为等腰直角三角形，$∠BEF = 90°$

∴$∠BFN=45°$，∴$∠BNF=45°$

∵$∠BFN+∠BNF+∠FBN=180°$

∴$∠FBN=90°$，即$∠FBA+∠ABN=90°$

∵$∠ABC=90°$

∴$∠FBA + ∠CBF = 90°$，即$ ∠CBF =∠ABN$

∵$BA=BC$，∴$△BCF≌△BAN(\mathrm {SAS})$

∴$CF=AN$

∴$ME=\frac {1}{2}AN=\frac {1}{2}CF$

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