解：$(1)$延长$EG$，$FH$交于点$O$
∵四边形$ABCD$是菱形，$∠A=45°$
∴$AD=CD$，$∠A=∠C=45°$，$AB//CD$
∴$∠A+∠ADC=180°$
∴$∠ADC=135°$
由折叠的性质，得$AE=DE=\frac {1}{2}AD$，$GE⊥AD$，
$∠GDA=∠A=45°$，$DF=FC=\frac {1}{2}\ \mathrm {CD}$，
$HF⊥CD$，$∠CDH=∠C=45°$
∴$∠OED=∠OFD=90°$
∵$∠EOF+∠OED+∠OFD +∠ADC=360°$
∴$∠EOF=360°-∠OED -∠OFD -∠ADC=45°$
$(2)$四边形$DGOH $是菱形，理由如下：
由$(1)$得$∠ADC=135°$，$∠GDA =∠CDH=45°$，
$∠OED = ∠OFD = 90°$
∴$∠GDC =∠ADH=90°$
∴$∠GDC+∠OFD=180°$，$∠OED+∠ADH =180°$
∴$GE//DH$，$GD//HF$
∴四边形$ DGOH $是平行四边形
由$(1)$及题意得$AE=DE=\frac {1}{2}AD$，
$DF= FC=\frac {1}{2}CD$，$AD=CD$
∴$DE=DF$
∴$△DEG≌△DFH(\mathrm {ASA})$
∴$DG=DH$，即平行四边形$DGOH$是菱形
