解：$(1)$设扶梯露在外面的部分有$x$级，乙每分钟走动
的级数为$a$，扶梯每分钟向上运动的级数为$b$，
则甲每分钟走动的级数为$2a$
由题意，得$\begin {cases}{\frac {24}{2a} = \frac {x}{2a+b} ①}\\{\frac {16}{a} = \frac {x}{a+b} ②}\end {cases}$
由①÷②，得$ \frac {3}{4} = \frac {a+b}{2a+b}$，得$b=2a$
把$b=2a$代入$②$中，得$x=48$
∴扶梯露在外面的部分有$48$级
$(2)$设甲第$ 1 $次追上乙时，甲在扶梯上走了$ m $遍，
在楼梯上走了$ n $遍，则乙在扶梯上走了$(m-1)$遍，
在楼梯上走了$(n-1)$遍
由题意，得$\frac {48m}{4a}+\frac {48n}{2a}=\frac {48(m-1)}{3a}+\frac {48(n-1)}{a}$
整理，得$m+6n=16$
这里$m$，$n$中至少有一个是正整数，且$0≤m-n≤1$
$①$若$m $为正整数，则$n=\frac {16-m}{6}$
∴$\begin {cases}{m=1}\\{n=\frac {5}{2}}\end {cases}($不符合题意，舍去)
或$\begin {cases}{m=2}\\{n=\frac {7}{3} }\end {cases}($不符合题意，舍去)
或$\begin {cases}{m=3}\\{n=\frac {13}{6}}\end {cases}$
或$\begin {cases}{m=4}\\{n=2}\end {cases}($不符合题意，舍去)
或$\begin {cases}{m=5}\\{n= \frac {11}{6}}\end {cases} ($不符合题意，舍去)
或······(均不符合题意，舍去)
$②$若$n$为正整数，则$ m = 16 - 6n$
∴$\begin {cases}{n=1}\\{m=10}\end {cases}$，$\begin {cases}{n=2}\\{m=4}\end {cases}$，$\begin {cases}{n=3}\\{m=-2}\end {cases}$
这些均不符合题意
综上$\begin {cases}{m=3}\\{n=\frac {13}{6}}\end {cases}$
此时，甲在楼梯上，且他已经走过的级数是
$(\frac {48m}{4a}+\frac {48n}{2a})×2a=24m+48n=72+104=176$
