解：$(1)$∵$k＞0$，∴在每个象限内，函数$y_{1}$随$x$的增大而减小，函数$ y_{2} $随$x $的增大而增大
又当$2≤x≤3$时，函数$y_{1}$的最大值是$a$，函数$y_{2} $的最小值是$a-4$
∴$a=\frac {k}{2}$，$a-4=-\frac {k}{2}$，解得$a=2$，$k=4$
则$a $和$k $的值分别为$2$和$4$
$(2)$圆圆的说法不正确，理由如下：
∵当$-1＜m＜0$是，$0＜m+1＜1$，且$k＞0$
∴$p<0$，$q>0$，则$p＜q$
