解：$(1)$由题意，把$A(m$，$2)$代入$y_{1}=\frac {1}{2}x$中，得$2= \frac {1}{2}m$，解得$ m=4$
则点$ A $的坐标为$(4$，$2)$
∴$k=4×2=8$，即反比例函数的表达式为$y=\frac {8}{x}$
$(2)$设平移后得到的直线与$y$轴交于点$C$，连接$ AC$，则$BC//OA$
∴$S_{△AOB}=S_{△AOC}$
又平移后得到的直线的函数表达式为$y=\frac {1}{2}x+3$
∴点$C$的坐标为$(0$，$3)$，即$OC=3$
由$(1)$，得点$A $的坐标为$(4$，$2)$
∴$S_{△AOB}=S_{△AOC}=\frac {1}{2}×3×4=6$
