解：$(1)$∵$AD//x$轴，∴$AD⊥y$轴，即$AD⊥ AE$
∵点$A$的坐标为$(0$，$2)$，点$C$的纵坐标为$-4$
∴在$▱ABCD $中，对边$AD$与$BC$之间的距离$AE=2-(-4)=6$
∵$S_{▱ABCD}=AD · AE=24$，∴$AD=4$
∴易知点$D$的坐标为$(4$，$2)$
∵反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图像经过点$D$
∴$k=4×2=8$
∴反比例函数的表达式为$y=\frac {8}{x}$
$(2)$由$(1)$，得反比例函数的表达式为$y=\frac {8}{x}$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$AD//x$轴
∴$BC//AD//x$轴，即$BC⊥y$轴
又点$C$的纵坐标为$-4$，∴点$B $的纵坐标为$-4$
∵点$B$在该反比例函数的图像上，且当$ y=-4$时，$-4=\frac {8}{x}$，解得$x=-2$
∴点$B $的坐标为$(-2$，$-4)$
设$AB$所在直线对应的函数表达式为$y = mx + n (m ≠ 0).$
把$ A (0$，$2)$，$n=2$，$B(-2$，$-4)$分别代入
得$\begin {cases}{n=2}\\{-2m+n=-4}\end {cases}$，解得$ \begin {cases}{m=3}\\{n=2}\end {cases}$
∴$AB$所在直线对应的函数表达式为$y=3x+2$
