第124页 - 亮点给力提优课时作业本八年级数学江苏版

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解：$(1)$将$A(3$，$1)$，$B(-1$，$n)$分别代入$y= \frac {m}{x}$中

得$\begin {cases}{1=\frac {m}{3}}\\{n=\frac {m}{-1}}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{m=3}\\{n=-3}\end {cases}$

∴点$B$的坐标为$(-1$，$-3)$，反比例函数的表达式为$y=\frac {3}{x}$

将$A(3$，$1)$，$B(-1$，$-3)$分别代入$y=kx+b$中

得$\begin {cases}{1=3k+b}\\{-3=-k+b}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{k=1}\\{b=-2}\end {cases}$

∴一次函数的表达式为$y=x-2$

$(2)$存在，将$x=0$代入$y=x-2$中，得$y=-2$

∴点$C$的坐标为$(0$，$-2)$，即$OC=2$

若四边形$OCNM$是平行四边形，则$ MN//OC$，且$MN=OC=2$

设点$M$的坐标为$(t$，$\frac {3}{t})$，则点$N$的坐标为$(t$，$t-2)$

易得点$M$必在点$N$的上方，则$MN=\frac {3}{t}-(t-2)=2$，即$\frac {3}{t}-t=0$

∴$t²=3$，解得$t=±\sqrt {3}$

经检验，$t=±\sqrt {3}$是原方程的解

∴点$N$的坐标为$(\sqrt {3}$，$\sqrt {3}-2)$或$(- \sqrt {3}$，$-\sqrt {3}-2)$

$\frac {1}{2} $

解：$(1)$过点$A$作$AE⊥x$轴于点$E$，过点$B$作$ BD⊥x$轴于点$D$，则$∠AEC=∠CDB=90°$

∵点$C$的坐标为$(3$，$0)$，点$B$的坐标为$(6$，$m)$

∴$OC=3$，$OD=6$，$BD=m$

∴$CD=OD-OC=3$

∵$△ABC$是等腰直角三角形，∴$∠ACB = 90°$，$AC = CB$

∵$∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=∠CBD+∠BCD=90°$

∴$∠ACE=∠CBD$，∴$△ACE≌△CBD(\mathrm {AAS})$

∴$AE=CD=3$，$CE=BD=m$，∴$OE=OC-CE=3-m$

∴点$A$的坐标是$(3-m$，$3)$

∵$A$，$B$两点恰好落在反比例函数$y=\frac {k}{x}$第一象限的图像上

∴$3(3-m)= 6m$，解得$m=1$

∴点$A$的坐标是$(2$，$3)$，点$B$的坐标是$(6$，$1)$

∴$k=6m=6$

∴反比例函数的表达式是$y=\frac {6}{x}$

设直线$AB$所对应的一次函数的表达式为$y=px+q$

把$A$，$B$两点的坐标分别代入，得$\begin {cases}{2p+q=3}\\{6p+q=1}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{p=-\frac {1}{2} }\\{q=4}\end {cases}$

∴直线$AB $所对应的一次函数的表达式为$y=-\frac {1}{2}x+4$

$(2)$延长$AE$至点$A'$，使得$A'E=AE$，连接$A'B$交$x$轴于点$P$，连接$AP$

∴点$A$与点$A'$关于$x$轴对称

∴$AP=A'P$，点$A'$的坐标为$(2$，$-3)$

∵$AP+PB=A'P+PB=A'B$，∴$AP+PB$的最小值为$A'B$的长

又$△ABP $的周长为$AP+PB+AB$，$AB$的长为定值

∴当$AP+PB$的值最小时，$△ABP $的周长最小

即当点$P $是直线$A'B$与$x$轴的交点时，$△ABP $的周长最小

设直线$A'B$的函数表达式是$y=nx+t$

把$A'(2$，$-3)$，$B(6$，$1)$两点分别代入，得$\begin {cases}{2n+t=-3}\\{6n+t=1}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{n=1}\\{t=-5}\end {cases}$

∴直线$A'B$的函数表达式是$y=x-5$

当$y=0$时，$0=x-5$，解得$x=5$

∴点$P $的坐标是$(5$，$0)$

∴当$△ABP $的周长取最小值时，点$ P $的坐标为$(5$，$0)$