解：$(1)$∵点$A(a$，$3)$在一次函数$y=\frac {3}{4}x+\frac {3}{2}$的图像上
∴$\frac {3}{4}a+\frac {3}{2}=3$，解得$a=2$
∴点$A $的坐标为$(2$，$3)$
又点$A$在反比例函数$y=\frac {k}x$的图像上
∴$k=2×3=6$
∴反比例函数的表达式为$y=\frac {6}{x}(x＞0)$
$(2)$∵一次函数$y=\frac {3}{4}x+\frac {3}{2}$的图像交$x$轴于点$B$
∴点$B$的坐标为$(-2$，$0)$
过点$A $作$AE⊥x$轴于点$E$
∵$△ABD$是以$BD$为底边的等腰三角形，且点$ D$在$x$轴的正半轴上
∴$BE=DE$
由$(1)$得点$A$的坐标为$(2$，$3)$
∴点$E$的坐标为$(2$，$0)$，即$BE=4$
∴$DE=4$，即点$D$的坐标为$(6$，$0)$
设直线$AD$的函数表达式为$y=k_{1}x+b_{1}$
把$A(2$，$3)$，$D(6$，$0)$两点分别代入，
得$ \begin {cases}{6k_{1}+b_{1}=0}\\{2k_{1}+b_{1}=3}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{k_{1}=-\frac {3}{4}}\\{b_{1}=\frac {9}{2}}\end {cases}$
∴直线$AD$的函数表达式为$y=-\frac {3}{4}x+\frac {9}{2}$
