解：$(1)$由图得本次随机抽取的样本中，被调查的学生人数是$60÷30\%=200$
$(2)$由$(1)$，得本次被调查的学生人数是$200$，
则$ $其中$“$平均每天帮助父母干家务所用时长$”$为$20\sim 30\mathrm {\mathrm {min}}$的学生
有$200-60-40-50-10=40($名$)$
∴$“$平均每天帮助父母干家务所用时长$”$为$20\sim 30\mathrm {\mathrm {min}}$的学生占被调查学生的
百分比为$\frac {40}{200}×100\%=20\%$
$“$平均每天帮助父母干家务所用时长$”$为$30\sim 40\mathrm {\mathrm {min}}$的学生占被调查学生的
百分比为$\frac {50}{200}×100\%=25\%$
即$m $的值为$20$，$n$的值为$25$
$(3)$由$(2)$，得被调查的学生中$“$平均每天帮助$ $父母干家务所用时长$”$为$ 20\sim 30 \mathrm {\mathrm {min}} $的有$40$名
补全频数分布直方图如图
$(4)$由题意，得$ 3000×\frac {50+10}{200}=900$
则估计$ “$平均每天帮助父母干家务所用时长不少于$30\mathrm {\mathrm {min}}”$的学生有$900$人
