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证明：$(1)$延长$AB$交$CF $于点$D$

由题意得$AB= BC$，$∠ACB=∠ECF=45°$

∵$∠ABC=90°$，$∠ABC=∠ECF+∠BDC$

∴$∠BDC=∠ABC-∠ECF=45°$，即$∠BDC=∠ECF$

∴$BC=BD$，即$AB=BD$，∴$B$是$AD$的中点

∵$M$是$AF $的中点，∴$BM$是$△ADF $的中位线，∴$BM//DF$，即$BM//CF$

$(2)$延长$BM$交$EF $于点$G$

由$(1)$得$BM// CF$，$∠ECF=45°$，∴$∠EBM=∠ECF=45°$

∵$∠CEF=90°$，∴$∠EBM+∠EGB=90°$，即$∠EGB=90°-∠EBM=45°$

∴$∠EBM=∠EGB$，即$BE=GE$

∵$∠ABC=90°$，∴$∠ABE=180°-∠ABC=90°$，即$∠ABE=∠CEF$

∴$AB//EF$，即$∠BAM=∠GFM $

∵$M$是$AF $的中点，∴$AM=FM$

∵$∠AMB=∠FMG$，∴$△AMB≌△FMG(\mathrm {ASA})$

∴$BM=GM$，即$M$是$BG $的中点

∴$BM=ME=\frac {1}{2}BG$

在$Rt△BEG $中，$BE = \sqrt {2}$，由勾股定理，得$ BG =\sqrt {BE^2+GE^2}=2$

∴$BM=ME=1$

$(3)$延长$BM$交$CF $于点$H$，连接$BE$，$HE$

∵由题意得$ AB=BC$，$CE=EF$，$∠ECF=∠EFC=45°$，$AM=FM$

∵$∠BCE=45°$，∴$∠BCE = ∠EFC$，$∠BCF= ∠BCE+∠ECF=90°$

∵$∠ABC=∠CEF=90°$

∴$∠ABC=∠BCF$，即$AB//CF$，∴$∠BAM=∠HFM$

∵$∠AMB=∠FMH$，∴$△AMB≌△FMH(\mathrm {ASA})$

∴$BM=HM$，$AB=FH$，即$M$是$BH$的中点，$CB=FH$

∴$△BCE≌ △HFE(\mathrm {SAS})$，∴$EB=EH$，$∠BEC=∠HEF$

∵$∠HEF+∠CEH=∠CEF=90°$

∴$∠BEC+∠CEH=90°$，即$∠BEH=90°$，∴$BM=ME$

解：$(1)$∵矩形$OABC$的顶点$B$的坐标为$(3$，$4)$

∴$OC=AB=4$，$OA=BC=3$

在$y=-\frac {2}{3}x+b$中，令$x=0$，得$y=b$

∴点$D$的坐标为$(0$，$b)$，∴$OD=b$

∵$OD=BE$，∴$BE=b$，∴点$E$的坐标是$(3$，$4-b)$

∵点$E(3$，$4-b)$在直线$y=-\frac {2}{3}x+b$上

∴$4-b=-\frac {2}{3}×3+b$，解得$b=3$，则$b$的值是$3$

$(2)$由$(1)$得$b=3$，则$D$，$E$两点的坐标分别为$ (0$，$3)$，$(3$，$1)$

∴$OD=3$，$AE=1$

∴$S_{四边形OAED}=\frac {1}{2}(OD+AE) · OA=\frac {1}{2}×(3+1)×3=6$

∵$△ODM$的面积与四边形$OAEM$的面积之比为$1 ∶3$

∴$S_{△ODM}=\frac {1}{4}S_{四边形OAED}=\frac {3}{2}$

不妨设线段$DE$上的点$M$的坐标为$(t$，$-\frac {2}{3}t+3)$

易知$0＜t＜3$，则点$M$到$OD$的距离为$t$

∴$\frac {1}{2} · 3t=\frac {3}{2}$，解得$t=1$

∴点$M$的坐标为$(1$，$\frac {7}{3}) $

$(3)$设线段$DE$上的点$M$的坐标为$(m$，$-\frac {2}{3}m+ 3)$

由$((2)$得$D$，$E$两点的坐标分别为$(0$，$3)$，$(3$，$1)$，$OD=3$，$AE=1$

分两种情况讨论：

$①$当$OD$作为菱形的对角线时，如图①，得菱形$OMDN$

∴$MN⊥OD$，$MN$，$OD$互相平分

∴$-\frac {2}{3}m+3=\frac {3+0}{2}$，解得$m=\frac {9}{4}$

∴点$M$的坐标为$(\frac {9}{4}$，$\frac {3}{2})$

此时点$ N $的坐标为$ (-\frac {9}{4}$，$\frac {3}{2})$

$②$当$OD$作为菱形的一边时，如图②，得菱形$ OMND$

∴$MN//OD$，$MN=OM=OD=3$

∵点$ M $的坐标为$ (m$，$-\frac {2}{3}m+3)$

∴点$ N $的坐标为$(m$，$-\frac {2}{3}m+6)$

∵过点$M$作$MP⊥x$轴于点$P$

在$Rt△OPM$中，$OP=m$，$MP=-\frac {2}{3}m+3$

由勾股定理，得$OP²+MP²=OM²$，

∴$m²+(-\frac {2}{3}m+3)^2=3²$，化简，得$\frac {13}{9}m²-4m=0$

由题意，得点$M$不在$y$轴上，即$m≠0$

在等式$\frac {13}{9}m²-4m=0$两边同时除以$m$

得$\frac {13}{9}m-4=0$，解得$m=\frac {36}{13}$

此时点$N $的坐标为$(\frac {36}{13}$，$\frac {54}{13})$

综上，满足题意的点$N$的坐标为$(-\frac {9}{4}$，$\frac {3}{2}$或$(\frac {36}{13}$，$\frac {54}{13})$