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$(1)$证明：过点$E$分别作$EM⊥BC$于点$M$，$EN⊥CD $于点$N$

则$∠EMF=∠END=∠ENC=90°$

∵四边形$ABCD$是正方形

∴$AB=AD=CD$，$∠BCD=∠ADC=90°$，$AC$平分$∠BCD$

∴$EM=EN$，四边形$EMCN$是矩形，即$∠MEN=90°$

∵$DE⊥EF$，∴$∠DEF= 90°$

∴$∠DEF -∠NEF =∠MEN-∠NEF$，即$∠DEN=∠FEM$

∴$△DEN≌△FEM(\mathrm {ASA})$，∴$DE=FE$

∵四边形$DEFG $是矩形，∴矩形$DEFG $是正方形

$(2)$解：$CE+CG $的值是定值，且为$6$，理由如下：

由$ (1)$得$AB=AD=CD$，$∠ADC=90°$，四边形$DEFG $是正方形

∴$DE=DG$，$∠EDG=90°$，即$∠ADC =∠EDG$

∴$∠CDG +∠CDE=∠ADE+∠CDE$，即$∠CDG =∠ADE$

∴$△ADE≌△CDG(\mathrm {SAS})$，∴$AE=CG$，∴$CE+CG=CE+AE=AC$

∵$AB= \sqrt {18}$，∴$AD=CD= \sqrt {18}$

在$Rt△ACD$中，由勾股定理，得$AC= \sqrt {AD²+CD²}=6$

∴$CE+CG $的值是定值，且为$6$

解：$(1)$∵四边形$ABCD$是矩形

∴$∠BAD= ∠ADC=90°$，$OC=OB=OA=OD$，$AB=CD$

∴$∠OAB = ∠OBA$，$∠OAD =∠ADB$

∵$∠BAF=35°$，$∠BAF=∠ADB$

∴$∠OAD = ∠ADB = 35°$，即$∠AOB =∠OAD+∠ADB=70°$

∵$∠OAB+∠OBA+∠AOB= 180°$

∴$∠OAB =∠OBA =\frac {1}{2}(180°-∠AOB)=55°$

∵$AE=CD$，∴$AE=AB$，即$∠AEB=∠OBA =55°$

∵$∠AOB=∠AEB+∠EAC$，∴$∠EAC=∠AOB-∠AEB=15°$

$(2)$在$OB$上截取$OH=OE$，连接$CH$，过点$B$作$BG⊥AC$于点$G$

则$BG=4$

由$(1)$得$OA=OC=OB=OD$，$AB=CD$，$∠OAB=∠OBA$

∵$∠AOE=∠COH$，∴$△AOE≌△COH(\mathrm {SAS})$

∴$∠AEO=∠CHO$，$AE=CH$

∵$CD=AE$，∴$AB=AE=CH$，即$∠AEO= ∠OBA$

∵$BF//AC$，∴$∠ABF=∠OAB$，即$∠ABF=∠OBA$

∴$∠ABF=∠CHO$

∵$BF=2OE$，∴$BF=HE$

∴$△ABF≌△CHE(\mathrm {SAS})$，∴$∠AFB=∠CEH$

∵$∠BAF=∠ADB$，$∠ADB+ ∠OBA = 90°$，∴$∠BAF +∠ABF=90°$

∵$∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°$

∴$∠AFB = 180°- (∠BAF +∠ABF)=90°$，即$∠CEH=90°$

∴$CE⊥BD$

∵$BG⊥AC$，∴$∠BGC=90°$，即$∠CEB=∠BGC=90°$

∵$OB=OC$，∴$∠EBC= ∠GCB$

∵$BC = CB$，∴$△BEC≌△CGB(\mathrm {AAS})$

∴$CE=BG=4$，即点$C$到$BD$的距离为$4$

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