$(1)$证明：∵$EA=EF$，$DA=DF$，∴$DE$垂直平分$ AF$
∴$∠AGD=90°$，即$∠ADE+∠DAF=90°$
∵$∠BAF=∠ADE$，∴$∠BAF+∠DAF=90°$，即$∠BAD=90°$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，∴四边形$ABCD$是矩形
$(2)$解：由$(1)$得四边形$ABCD $是矩形，∴$BC=DA$，$∠C=90°$
∵$DA=DF$，∴$BC=DF$
∵$BF=4$，$CD=12$，∴$CF=BC-BF=DF-4$
在$Rt△DCF $中，由勾股定理，得$CF²+CD²=DF²$
∴$(DF-4)²+12²=DF²$，解得$DF=20$
∴$DF $的长是$20$
