解：$(1)$四边形$PMQN$是正方形，理由如下：
连接$CE$，$BD$，延长$CE$交$BD$于点$H$，交$AB$于点$O$
由题意，得$∠DAE=∠BAC=90°$
∴$∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE$，即$∠BAD=∠CAE$
∵$AE=AD$，$AC=AB$，∴$△CAE≌△BAD(\mathrm {SAS})$
∴$CE=BD$，$∠ACE=∠ABD$
∵$∠ACO+∠AOC=90°$，$∠AOC=∠BOH$
∴$∠ABD+∠BOH=90°$
∵$∠ABD+∠BOH+∠CHB=180°$
∴$∠CHB=180°-(∠ABD+∠BOH)=90°$，即$CH⊥BD$
∵$P$，$Q$，$M$，$N$分别为$DE$，$BC$，$DC$，$BE$的中点
∴$PM$是$△CDE$的中位线，$QN$是$△BCE$的中位线，
即$PM=\frac {1}{2}CE$，$QN=\frac {1}{2}CE$，$PM//CE$
同理，得$MQ=\frac {1}{2}BD$，$PN=\frac {1}{2}\ \mathrm {BD}$，$PN//BD.$
∴$PM=MQ=PN=QN$
∵∴四边形$PMQN$是菱形
∵$CH⊥BD$，∴$PM⊥PN$，即四边形$PMQN$是正方形$ $
$(2)$四边形$PMQN$面积的最大值是$16$
