$(1)$证明：设$BF $交$CD$于点$N$
∵四边形$ABCD $是矩形，∴$AB=CD$，$AB//CD$，$∠ADC=∠DAB=90°$
∴$∠PEN=∠PAB$，$∠ABP=∠ENP$
∵$P $为线段$AE$的中点，∴$AP=EP$，∴$△APB≌△EPN(\mathrm {AAS})$
∴$AB=EN$，即$ CD=AB=EN$
∴$CD-CN=EN-CN$，即$DN=CE$
∵$CM=DE$，∴$CM-CD=DE-CD$，即$DM=CE$
∴$DN=DM$
∵$∠ADC=90°$，∴$FD⊥MN$，∴$FN=FM$，∴$∠FNM=∠DMF$
∵$∠FNM=∠ENP$，∴$∠DMF=∠ABF$
$(2)$解：①如图所示
②结论仍然成立，理由如下：
如图，延长$BF$，$CD$交于点$N$
∵$P $为线段$AE$的中点，∴$AP=PE$
由$(1)$得$AB//CD$，$AB=CD$，$FD⊥MN$，∴$∠PEN=∠PAB$，$∠2=∠N$
∴$△APB≌△EPN(\mathrm {AAS})$，∴$AB=EN$，即$ CD=AB=EN$
∴$CD-DE=EN-DE$，即$CE=DN$
∵$DE=CM$，∴$DE+EM=CM+EM$，即$ DM=CE$
∴$DN=DM$
∵$FD⊥MN$，∴$FN=FM$
∴$∠N=∠1$，即$∠1=∠2$，∴$∠DMF=∠ABF$
