解：$(1)$∵点$A(a$，$-\frac {7}{2})$在直线$y=-\frac {3}{2}x-\frac {1}{2}$上
∴$-\frac {3}{2}\ \mathrm {a}-\frac {1}{2}=-\frac {7}{2}$，解得$a=2$
∴点$A$的坐标为$(2$，$-\frac {7}{2})$
∵$AB//y$轴，且点$B$的纵坐标为$1$，∴点$B$的坐标为$(2$，$1)$
∵反比例函数$y=\frac {m}{x}(m＞0)$的图像经过点$B(2$，$1)$
∴$m=2×1=2$，即反比例函数的表达式为$y=\frac {2}{x}$
$(2)①$由题意，设点$C$的坐标为$(t$，$\frac {2}{t})$
∵点$A $的坐标为$(2$，$-\frac {7}{2})$，点$B$的坐标为$(2$，$1)$，且$△ABC $的面积为$\frac {27}{4}$
∴$\frac {1}{2}×(2-t)×(1+\frac {7}{2})=\frac {27}{4}$，解得$t=-1$
∴点$C$的坐标为$(-1$，$-2)$
设直线$ BC $的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$
把$B(2$，$1)$，$C(-1$，$-2)$分别代入，
得$\begin {cases}{2k+b=1}\\{-k+b=-2}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{k=1}\\{b=-1}\end {cases}$
∴直线$BC$的函数表达式为$y=x-1$
$② $满足条件的点$ P $的坐标为$(-1$，$-2)$或$(\frac {1}{2}$，$-\frac {1}{2})$
