第41页 - 亮点给力提优课时作业本八年级数学江苏版

解：$(1)$∵$\sqrt {2×8}=4$，$\sqrt {2×18}=6$，$\sqrt {18×8}=12$，其结果分别为$4$，$6$，$12$，都是整数

∴$2$，$18$，$8$这三个数是$“$和谐组合$”$

其中$“$最小算术平方根$”$是$4$，$“$最大算术平方根$”$是$12$

$(2)$由题意，分类讨论如下：

$①$当$0＜a＜9$时，$\sqrt {9×25}=3 \sqrt {9a}$，解得$a=\frac {25}{9}($舍去$)$；

$②$当$9≤a≤25$时，$\sqrt {25a}=3 \sqrt {9a}$，解得$a=0($舍去$)$；

$③$当$a＞25$时，$\sqrt {25a}=3 \sqrt {9×25}$，解得$a=81$，符合题意

综上，$a$的值为$81$

$9+2\sqrt {3}$

$15+2\sqrt {3}$

解：$(2)S_{n+1}-S_n=6n-3+2\sqrt {3}$，证明如下：

当$a= 1$，$b=3$时，$a+n\sqrt b=1+n \sqrt {3}$

∴$S_{n+1}=(1+n \sqrt {3})²$，$S_n=[1+(n-1) \sqrt {3}]²$

∴$S_{n+1}-S_n=(1+n \sqrt {3})²-[1+(n-1)\sqrt {3}]²=\sqrt {3}×[2+(2n-1)\sqrt {3}]=6n-3+2\sqrt {3}$

$(3)$∵$t_{1}=S_{2}-S_{1}$，$t_{2}=S_{3}-S_{2}$，$t_{3}=S_{4}- S_{3}······$

∴$T=t_{1}+t_{2}+t_{3}+···+t_{50}=S_{2}-S_{1}+S_{3}-S_{2}+S_{4}-S_{3}+···+S_{51}-S_{50}=S_{51}-S_{1}$

由$(2)$得$S_n=[1+(n-1)\sqrt {3}]²$，则$S_{51}=(1+50\sqrt {3})²$，$S_{1}=1$

∴$T=S_{51}-S_{1}=(1+50\sqrt {3})²-1=7500+100\sqrt {3}$