解：$(1)$∵点$P $在函数$y=\frac {6}{x}$的图像上，$PA⊥ x$轴，点$A$的坐标为$(a$，$0)$
∴点$P $的坐标为$(a$，$\frac {6}{a})$
∴$S_{△PAB}=\frac {1}{2}×\frac {6}{a}×a=3$
$(2)$∵四边形$BQNC$为菱形，∴$BQ= BC=CN =QN$
∵$AB⊥BD$，∴$∠ABQ=∠ABD=90°$
∵$C$为$AQ $的中点，∴$BC=QC=\frac {1}{2}AQ$
∴$△QBC$，$△QCN$都是等边三角形，∴$∠AQB=∠AQN=60°$
∵$∠2+∠AQB=90°$，∴$∠2=30°$
设菱形$BQNC$的边长为$t$，则$BQ=BC=t$
过点$Q $作$QH⊥BC$于点$H$
∴$BH=\frac {1}{2}\ \mathrm {BC}=\frac {1}{2}t$
在$Rt△BQH$中，由勾股定理，得$QH=\sqrt {BQ^2-BH²}=\frac {\sqrt {3}}{2}t$
则$S_{菱形BQNC}=t · \frac {\sqrt {3}}{2}t=\frac {\sqrt {3}}{2}t²$
∵$S_{菱形BQNC}=2\sqrt {3}$，∴$\frac {\sqrt {3}}{2}t²=2\sqrt {3}$，解得$t=2($负值已舍去$)$
∴$BQ=BC=2$，即$AQ=4$
在$Rt△ABQ $中，由勾股定理，得$AB=\sqrt {AQ^2-BQ^2}=2 \sqrt {3}$
∵$AQ=AQ$，∴$△ABQ≌△ANQ(\mathrm {SAS})$
∴$∠2=∠1$，则$∠1=30°$
∵$PA⊥x$轴，∴$∠PAO=90°$，即$∠1+∠2+∠3=90°$
∴$∠3=30°$，即$OB=\frac {1}{2}AB= \sqrt {3}$
在$Rt△AOB$中，由勾股定理，得$OA= \sqrt {AB²-OB²}=3$，∴点$P $的横坐标为$3$
∵点$P $在函数$y=\frac {6}{x}$的图像上，∴点$P $的坐标为$(3$，$2)$
$(3)$存在点$S$，且点$S $的坐标为$(1$，$4\sqrt {3})$或$(1$，$0)$或$(5$，$4 \sqrt {3})$
